Wissenschaftliches Netzwerk zur Untersuchung geometrischer Probleme im Zusammenhang mit Gleichungen höherer Ordnung und Gleichungen gebrochener Ordnung

• Antragsteller: Dr. Jesse Ratzkin
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2025
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 561401741

In diesem Projekt setzen wir unsere laufenden Untersuchungen der Versionen höherer und gebrochener Ordnung des sehr erfolgreichen Yamabe-Problems in der geometrischen Analyse fort, das nach einem Vertreter einer konstanten skalaren Krümmung in einer gegebenen konformen Klasse von Riemannschen Metriken fragt. Wir stellen dieselbe Frage für andere skalarwertige Krümmungsgrößen, die sich unter einer konformen Änderung der Metrik entweder gemäß Gleichungen höherer Ordnung oder fraktionaler Ordnung transformieren. Zusammenfassend bezeichnen wir dies als die Q-Krümmung einer Metrik unterschiedlicher Ordnung. In früheren Arbeiten haben wir bereits viele neue und interessante Beispiele für glatte und singuläre Metriken mit konstanter Q-Krümmung mit Hilfe von Klebeverfahren konstruiert. Wir haben Kompaktheitseigenschaften und die lokale Struktur des Moduli-Raums von Metriken mit konstanter Q-Krümmung und isolierten Singularitäten untersucht. Wir haben die Stabilität des Gesamt-Q-Krümmungsfunktionals in der Nähe von minimierenden Metriken in einer glatten Umgebung untersucht. Zu den neuen Aspekten dieses Projekts gehören: (i) neue Klebekonstruktionen für glatte und singuläre Beispiele (ii) Nachweis der Konvergenz eines natürlichen geometrischen Flusses, dessen stationäre Punkte die konstanten Q-Krümmungsmetriken sind (iii) Klassifizierung der Konvergenzrate dieses Flusses (iv) Erweiterung unserer Beispiele, die eine entartete Stabilität des gesamten Q- Krümmungsfunktionals auf bestimmten Produkten von der ganzzahligen Ordnung auf die gebrochene Ordnung (v) Fortschritte bei der Klassifizierung aller Lösungen auf einer doppelt punktierten Sphäre als so genannte Delaunay-Lösungen (vi) Untersuchung der Kompaktheit von Lösungen in niedrigen Dimensionen und Blow-up-Sequenzen in hohen Dimensionen (vii) Erzeugung neuer und interessanter Folierungen eines asymptotisch flachen Endes, (viii) Konstruktion von Gleichgewichtsdiagrammen im Zusammenhang mit Metriken mit konstanter Q-Krümmung und Punktsingularitäten (ix) Nachweis der Nicht-Entartung weiterer Beispiele mit komplizierterer Topologie und (x) Erzeugung neuer Metriken mit konstanter Q-Krümmung durch Bifurkationen von Berger-Sphären.

• DFG-Verfahren: Wissenschaftliche Netzwerke