NEUER ANSATZ ZUR ANALYTISCHEN LANGLANDS-KORRESPONDENZ & BESCHREIBUNG VON WOBBLY BÜNDELN

• Antragsteller: Dr. Duong Dinh
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2025
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 561911940

Sei X eine Riemannsche Fläche mit negativer Euler-Charakteristik und G eine komplexe reduktive Gruppe. Vor mehr als 30 Jahren zeigten Beilinson-Drinfeld, dass das klassische integrable Hitchin-System, das mit (X, G) assoziiert ist, d.h. die Modulräume von G-Higgs-Bündeln auf X, eine natürliche Quantisierung zulässt. Die quantisierten Hitchin-Hamiltonoperatoren stehen in enger Verbindung mit einer wichtigen Klasse spezieller Fälle der geometrischen Langlands-Korrespondenz: D-Module auf dem Modulstack von G-Bündeln, die durch quantisierte Hitchin-Hamiltonoperatoren definiert werden, werden durch Opers auf X klassifiziert, wobei die Eichgruppe das Langlands-Dual von G ist. Die vollständige geometrische Langlands-Vermutung wurde kürzlich von Gaitsgory-Raskin et al. bewiesen. Die analytische Langlands-Korrespondenz, die von Teschner vermutet und von Etingof-Frenkel-Kazhdan weiterentwickelt wurde, ist eine neuere Entwicklung. Diese Vermutung schlägt vor, dass die Lösungen des spektralen Problems dieser quantisierten Hitchin-Hamiltonoperatoren insbesondere durch reelle Opers klassifiziert werden. Versuche, Lösungen für dieses spektrale Problem zu konstruieren und diese Lösungen zu klassifizieren, stießen auf ernste analytische Herausforderungen auf dem Modulstack von G-Bündeln. Das Hauptthema dieses Forschungsprogramms ist der Vorschlag einer neuen Methode zur Konstruktion dieser Lösungen. Als Anfang schlagen wir für die Fälle des Rangs 2 ein Analogon zu Drinfelds Ansatz zur geometrischen Langlands-Korrespondenz im analytischen Setting vor. Im Kontext der analytischen geometrischen Langlands-Korrespondenz schlagen wir vor, dass ausgehend von einem reellen Oper auf X eine unitäre Integraltransformation Lösungen für das spektrale Problem der quantisierten Hitchin-Hamiltonoperatoren erzeugen kann. Der Vorteil dieser Methode besteht darin, dass man analytische Probleme auf dem Modulstack auf Probleme auf X übertragen kann, die leichter zu bewältigen sein sollten. Ein weiteres Ziel dieses Forschungsprogramms ist es, ein Analogon des Donagi-Pantev-Ansatzes zur geometrischen Langlands-Korrespondenz im Kontext der analytischen Langlands-Korrespondenz zu finden. In der geometrischen Langlands-Korrespondenz macht dieser Ansatz umfangreichen Gebrauch von der nichtabelschen Hodge-Korrespondenz zwischen Higgs-Bündeln und lokalen Systemen auf Varietäten beliebiger Dimensionen sowie der Fourier-Mukai-Transformation dualer Hitchin-Faserungen. Donagi-Pantev vermuteten und bewiesen in einigen Fällen, dass ausgehend von einem lokalen System auf X dieses Verfahren lokale Systeme auf dem Modulraum von Bündeln erzeugt, die die Einschränkung des entsprechenden D-Moduls darstellen. Wir erwarten, dass ein Analogon des Donagi-Pantev-Ansatzes in der analytischen Langlands-Korrespondenz existiert und ebenfalls hilft, analytische Herausforderungen auf dem Modulstack/Modulraum von Bündeln zu umgehen.

• DFG-Verfahren: WBP Stipendium
• Internationaler Bezug: USA
• Gastgeber: Professor Dr. Ron Donagi