Bifurkationsprobleme für differentialgeometrische partielle Differentialgleichungen

• Antragsteller: Professor Dr. Hannes Uecker
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2025
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 563415565

Differentialgeometrische partielle Differentialgleichungen (pDGL) treten sowohl innermathematisch als auch in Anwendungen auf, insbesondere in Materialwissenschaft und Biologie. Die einfachsten Beispiele sind Flächen konstanter mittlerer Krümmung, z.B. Seifenblasen. Diese Flächen ergeben sich u.a. als Minimierer der Oberfläche unter einen Volumenbedingung, und die zugehörige pDGL kann als quasilineare elliptische Gleichung zweiter Ordnung klassifiziert werden. Eine Klasse geometrischer pDGLn vierter Ordnung tritt z.B. zur Beschreibung von Zellmembranen auf. Flächen konstanter mittlerer Krümmung und die zugehörigen Gleichungen werden seit dem 18.Jhdt intensiv untersucht, aber im Vergleich zu anderen klassischen (semilinearen) pDGLn ist die Lösungstheorie geometrischer pDGLn auf Grund der stärkeren Nichtlinearität und den typischerweise begleitenden geometrischen Nebenbedingungen weniger gut ausgebaut. Insbesondere für die Gleichungen vierter Ordnung sind oft nur Kurzzeitexistenz für den Fluss sowie wenige Grundlösungen und deren Stabilität bekannt, meist für den axialsymmetrischen Fall, und es gibt nur wenige Untersuchungen zur Parameterabhängigkeit und Verzweigungen von nicht axialsymmetrischen Lösungen. Ziel des Projektes ist, basierend auf eigenen Vorarbeiten und in Kombination von Analysis und Numerik für biologisch motivierte differentialgeomtrische pDGLn neue Stabilitäts-- und Verzweigungsresultate zu erzielen. Auf numerischer Seite wird das Paket pde2path verwendet und weiterentwickelt, und bei der Analysis bilden Amplituden-- und Modulationsgleichungen einen Fokus.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen