Simulation und Numerische Analysis mehrkomponentiger Bose-Einstein-Kondensate

• Antragstellerinnen / Antragsteller: Professor Dr. Daniel Peterseim; Professorin Dr. Tatjana Stykel
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2025
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 564828373

Mehrkomponentige Bose-Einstein-Kondensate (BECs) sind ein zentrales Forschungsfeld der Atom- und Festkörperphysik. Da die experimentelle Untersuchung dieser Systeme mit erheblichen Herausforderungen verbunden ist, spielen numerische Simulationen eine entscheidende Rolle bei der Analyse ihres Verhaltens. Die wechselwirkenden Spezies und Spin-Freiheitsgrade in Mehrkomponenten-BECs stellen jedoch grundlegende theoretische und algorithmische Hürden dar. Bestehende numerische Methoden, die ursprünglich für Einkomponentensysteme entwickelt wurden, sind oft nicht in der Lage, die Komplexität der Mehrkomponenten-Wechselwirkungen vollständig zu erfassen. Besonders herausfordernd ist das komplexe Zusammenspiel von Spin-Wechselwirkungen, Rotationsdynamik und ausgeprägten Nichtlinearitäten. Zudem mangelt es den bisherigen Ansätzen häufig an der notwendigen Effizienz für hochaufgelöste Berechnungen sowie an theoretischen Garantien für Konvergenz und Stabilität, insbesondere in extremen Parameterregimen. Dieses Projekt schließt diese Lücken durch die Entwicklung und numerische Analysis problemangepasster numerischer Methoden für Mehrkomponenten-BECs, die durch gekoppelte Gross-Pitaevskii-Gleichungen modelliert werden. Wir werden neuartige Riemannsche Optimierungsverfahren für die Berechnung von Grundzuständen einführen. Hierbei gewährleistet die Formulierung auf unendlichdimensionalen Mannigfaltigkeiten mit energieadaptiven Metriken zuverlässige, beschleunigte Konvergenz und minimiert unerwünschte Abhängigkeiten von der Art und Auflösung der räumlichen Diskretisierung. Parallel hierzu entwickeln wir räumliche Diskretisierungsverfahren, die wichtige strukturelle physikalische Eigenschaften wie Positivität, Eindeutigkeit und Stabilität erhalten, und nicht-physikalischen numerischen Artefakten vorbeugen. Darüber hinaus werden konservative Zeitintegrationsalgorithmen entwickelt, die zentrale Invarianten wie Energie, Masse und Magnetisierung erhalten. In Kombination mit den räumlichen Diskretisierungsverfahren sollen diese Algorithmen präzise Raum-Zeit-Simulationen nichtlinearer dynamischer Phänomene ermöglichen. Insgesamt wird dieses Projekt eine robuste Simulationsumgebung bereitstellen, die speziell auf die komplexe Physik von Mehrkomponenten-BECs zugeschnitten ist. Dadurch wird die zuverlässige numerische Untersuchung von Grundzuständen und der Dynamik von Mehrkomponenten-BECs ermöglicht, insbesondere von Effekten, die durch Spin-Wechselwirkungen und Rotation getrieben werden. Über die spezifischen Anwendungen hinaus wird erwartet, dass die mathematischen und algorithmischen Innovationen, insbesondere in der Riemannschen Optimierung und den strukturerhaltenden numerischen Methoden, auf breitere Klassen nichtlinearer Schrödinger-Gleichungen und verwandter nichtlinearer Eigenwertprobleme übertragbar sind.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen