Katz' mittlere Faltung für automorphe Garben

• Antragsteller: Dr. Konstantin Jakob
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2025
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 566801746

Nick Katz untersuchte in den 1990ern starre lokale Systeme, wie z.B. die Lösungsgarbe der Gaußschen hypergeometrischen Gleichung, die vollständig durch die Isomorphieklassen der lokalen Monodromie bestimmt sind. Sein wichtigstes Werkzeug dabei war seine mittlere Faltung mit Kummergarben, eine Operation die den Rang eines lokales System auf einer offenen Teilmenge der projektiven Geraden reduzieren kann. Ist es möglich, mittels der Faltung den Rang auf 1 zu reduzieren, so ist das lokale System starr. Andererseits ist die Faltung invertierbar, kann also zur Konstruktion von starren lokalen Systemen genutzt werden. Solche Systeme haben Anwendung z.B. in der inversen Galois-Theorie, und wurden genutzt um exzeptionelle Gruppen als motivische Galoisgruppen zu realisieren. Im nicht-starren Fall liefert die Faltung Isomorphismen zwischen Modulräumen lokaler Systeme mit vorgegebener lokaler Monodromie. Diese Räume nennt man auch Charaktervarietäten (oder -stacks). Das geometrische Langlandsprogramm setzt diese Modulräume in Beziehung zu automorphen Garben, perverse Garben auf dem Modulstack von parabolischen Vektorbündeln. Grob gesprochen sollte jedem lokalen System eine Hecke-Eigengarbe zugeordnet sein, deren Eigenwert unter geometrischen Hecke-Operatoren wieder das lokale System liefert. Kategoriell ausgedrückt erwartet man eine Äquivalenz von Ind-kohärenten Garben auf dem Modulraum von lokalen Systemen mit der Kategorie der D-Moduln auf dem Modulstack Bun_n der parabolischen Vektorbündel. Diese Äquivalenz wird dadurch charakterisiert, dass sie von der spektralen Wirkung herkommt, der Wirkung von QCoh(LocSys) durch Hecke-Operatoren auf der Kategorie der D-Moduln auf Bun_n. Bewiesen wurde diese Äquivalenz vor Kurzem von Arinkin, Gaitsgory, Raskin, und vielen weiteren im unverzweigten Fall, d.h. ohne parabolische Struktur. Die geometrische Langlands-Korrespondenz sagt daher voraus, dass Katz’ mittlere Faltung eine Operation auf automorphen Garben induziert. Ziel dieses Projektes ist es, diese Operation auf der automorphen Seite zu definieren, und zu untersuchen. Insbesondere soll diese Operation genutzt werden, um die zahme geometrische Langlands-Korrespondenz explizit zu beschreiben, wenn die Charaktervarietät zweidimensional ist. Es ist zu erwarten, dass in diesem Fall die Korrespondenz mittels Faltung im Wesentlichen auf drei primitive Fälle reduziert werden kann. Diese Fälle entsprechen den sternförmigen affinen Dynkin-Diagrammen vom Typ ADE, welche die parabolische Struktur der Vektorbündel kodieren.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen