Glättungen durch log Auflösungen und Anwendungen

• Antragsteller: Dr. Tim Gräfnitz
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2025
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 567054097

Fano-Varietäten sind die grundlegenden Bausteine der algebraischen Geometrie. Eine Vermutung, die teilweise durch die Spiegelsymmetrie in der Stringtheorie inspiriert ist, sagt eine Korrespondenz zwischen Fano-Varietäten mit milden Singularitäten und Laurent-Polynomen mit bestimmten Mutationseigenschaften voraus. In Dimension 3 und niedriger ist die Klassifikation von Fano-Varietäten bekannt und die Vermutung wurde durch explizite Berechnungen bestätigt. In höheren Dimensionen ist jedoch keine Klassifikation bekannt. Die vermutete Korrespondenz leistet einen bedeutenden Fortschritt in dieser Hinsicht. In meinem Forschungsvorhaben verfolge ich einen neuen Ansatz zum Beweis der oben genannten Vermutung. Ich konstruierte Fano-Varietäten über Deformationen von torischen Varietäten mit Gorenstein-Singularitäten. Dabei entarte ich zunächst die torische Varietät in eine Vereinigung von mehreren torischen Varietäten, die sich in torischen Divisoren schneiden. Diese Vereinigung wird mit einer log-Struktur versehen, die im Kontext der logarithmischen Geometrie definiert ist. Der log-singuläre Ort dieser Struktur ist in den torischen Divisoren enthalten, und seine genaue Form wird durch ein Laurent-Polynom mit den oben genannten Mutationseigenschaften festgelegt. Log-Auflösungen der log-Singularitäten werden durch divisorische Extraktionen, eine spezielle Art birationaler Abbildungen, des log-singulären Ortes konstruiert. Das Ergebnis ist ein generisch toroidal-kreuzender Raum, der mit einer log-Struktur ausgestattet ist, die außerhalb einzelner Punkte log-glatt über dem Standard log-Punkt ist. Ich erweitere bestehende Methoden in der logarithmischen Deformationstheorie, um eine Glättung zu einer Fano-Varietät mit terminalen Singularitäten zu erhalten. Dieser Ansatz stellt eine natürliche Erweiterung des Gross-Siebert-Programms dar, in dem ebenfalls torische Entartungen konstruiert werden. Jedoch muss der log-singuläre Ort dort einfacher sein, insbesondere immer transversal kreuzend. Der Ansatz ermöglicht eine Verallgemeinerung tropischer Korrespondenz-Theoreme auf höher-dimensionale, nicht-torische Varietäten. Damit lassen sich Gromov-Witten-Invarianten berechnen, die in der Spiegelsymmetrie auf natürliche Weise auftreten und anschaulich gesprochen die Anzahl der Kurven auf einer Varietät zählen. Zudem bietet dieser Ansatz die Möglichkeit, Entartungen von Fano-Varietäten zu konstruieren, aus denen Rückschlüsse auf die (stabile) Rationalität der Varietät gezogen werden können. Dies ist ein zentrales Problem der birationalen Geometrie, einem wichtigen Teilgebiet der algebraischen Geometrie, in dem Varietäten bis auf Isomorphie außerhalb niedriger-dimensionaler Untervarietäten klassifiziert werden.

• DFG-Verfahren: Emmy Noether-Nachwuchsgruppen