NWO-DFG Hilbert-Schemata: Moderne Sichtweisen und Synergien

• Antragsteller: Dr. Andreas Krug
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2026
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 567118383

Modulräume sind in der algebraischen Geometrie allgegenwärtig. Sie beschreiben Klassifizierungen von Objekten, sobald kontinuierliche Parameter beteiligt sind. Sie sind die natürlichste Quelle für neue algebraische Varietäten, die aus bekannten Varietäten heraus konstruiert werden. Ihre geometrischen Eigenschaften spiegeln die Eigenschaften der zur Definition verwendeten Objekte wider und lassen Rückschlüsse auf die Ursprünglichen Objekte zu. Oft bestehen Verbindungen von Modulräumen zur mathematischen Physik und zur Darstellungstheorie. Die Untersuchung von Modulräumen ist eine wichtige Inspirationsquelle für neue mathematische Werkzeuge und Fragestellungen. In diesem Projekt konzentrieren wir uns auf Hilbert-Schemata von Punkten auf Kurven und Flächen. Diese beschreiben wie sich eine Konfiguration von Punkten auf dem geometrischen Objekt bewegen und zusammenkommen kann. Hilbert-Schemata von Punkten gehören zu den am besten zugänglichen Beispielen für Modulräume von Garben und bilden den Ausgangspunkt für das Verständnis komplizierterer Modulräume. Wir verwenden moderne Werkzeuge der Kategorientheorie und Darstellungstheorie um Hilbert-Schemata zu untersuchen. Die Hauptneuheit wird sein, dass wir allgemeinere (nicht-klassische) Arten von Kurven und Flächen als Ausgangsobjekt erlauben werden, nämlich solche mit „Quanten“ (d.h. nicht-kommutativer) Struktur oder mit zusätzlichen Symmetrien. In diesen verallgemeinerten Situationen wollen wir Analogien der im klassischen Fall bekannten grundlegenden Resultate finden und beweisen, um die Struktur und Eigenschaften dieser neuen Modulräume besser zu verstehen. Dies wird zu faszinierenden Synergien zwischen verschiedenen Bereichen der Mathematik führen, in denen diese Quanten- und symmetrischen Objekte auftreten. Darüber hinaus entwickeln wir Rechenwerkzeuge, um die Untersuchung dieser Modulräume zu erleichtern und eine solide Grundlage für zukünftige Forschung in diesem Bereich zu schaffen.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen
• Internationaler Bezug: Niederlande
• Kooperationspartner: Professor Pieter Belmans, Ph.D.