Die Mannigfaltigkeit der Einbettungen

• Antragsteller: Professor Dr. Philipp Reiter
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2025
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 567788778

Gegenstand dieses Antrags ist die geometrische, analytische und numerische Untersuchung der Mannigfaltigkeit eingebetteter Kurven und (Hyper-) Flächen. Insbesondere möchten wir kürzeste Wege zwischen zwei gegebenen Konfigurationen innerhalb derselben Isotopieklasse finden. Dieses Problem wird durch Anwendungen in anderen Disziplinen motiviert, etwa Elastizitätstheorie oder Computergraphik (Keyframing). Ausgangspunkt bildet eine Riemannsche Metrik auf der Menge (hinreichend glatter) geschlossener eingebetteter Kurven, die kürzlich vorgestellt und untersucht wurde; hier konnten wir metrische und geodätische Vollständigkeit zeigen sowie die Existenz kürzester Geodätischer. Die Definition dieser Metrik ist durch den Begriff der Punkt-Tangenten-Energien motivert, einer Familie selbstvermeidender Funktionale, die aufblasen, wenn ein eingebettetes Objekt degeneriert. In den ersten Arbeitspaketen soll diese Metrik auf Kurven weiter untersucht werden. Hierzu unternehmen wir erste Schritte, um allgemeine Aussagen über (Schnitt-) Krümmung und die Gestalt von Geodätischen herzuleiten. Außerdem möchten wir den zugehörigen Shape Space über eine parametrisierungsinvariante Metrik einführen. Weitere Arbeitspakete beinhalten die Erweiterung dieses Konzeptes auf Flächen. Wir verfolgen hierzu zwei unterschiedliche Konzepte. Das erste basiert auf einer Finsler-Metrik und erfordert weniger Regularität der Flächen, während das zweite, eine Riemannsche Metrik, zusätzliche krümmungsbezogene Terme höherer Ordnung verwendet. Das letzte Arbeitspaket besteht in der Definition und Analyse numerischer Verfahren, mit deren Hilfe Simulationen erstellt werden sollen.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen