Arithmetische und geometrische Aspekte der Voevodsky-Motive und der Nori-Motive

• Antragsteller: Dr. Luca Terenzi
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2025
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 568083338

Das Ziel der Theorie der gemischten Motive ist eine universelle Kohomologietheorie für algebraische Varietäten zu definieren. Es gibt zwei Hauptansätze für diese Theorie, die auf Voevodsky und auf Nori zurückzuführen sind; letztere wurde bisher nur über Körpern der Charakteristik Null. Eine tiefe Vermutung besagt, dass die Theorien von Motiven von Voevodsky und Nori im Wesentlichen gleichwertig sind. Diese Erwartung hat die Entwicklung beider Theorien in den letzten 30 Jahren geleitet. Das allgemeine Ziel des vorgeschlagenen Forschungsprogramms besteht darin, das aktuelle Verständnis der Theorien von Voevodsky und Nori und ihrer Beziehung zu klassischen Kohomologietheorien zu verbessern. Der Fokus liegt auf zwei wesentlichen Aspekten: dem Tannaka-Formalismus, der mit der Theorie der motivischen Galois-Gruppen zusammenhängt, und dem Sechs-Funktoren-Formalismus, der mit der Theorie der gemischten motivischen Garben verbunden ist. Das Forschungsprogramm gliedert sich in vier unabhängige Projekte mit spezifischen Zielsetzungen. Das Ziel des ersten Projekts besteht darin, mithilfe von Techniken der motivischen Galois-Theorie eine Tannaka-Beschreibung des Sechs-Funktoren-Formalismus gemischter Hodge-Module bereitzustellen; dies wird die Konstruktion von Realisierungen gemischter motivischer Garben in gemischten Hodge-Modulen erheblich vereinfachen. Das Ziel des zweiten Projekts besteht darin, motivische lokale Systeme über PEL-Shimura-Varietäten zu untersuchen: Das Endergebnis wird eine motivische Version der klassischen Formel sein, die die Degeneration gewisser lokaler Systeme in den Straten der Baily--Borel-Kompaktifizierung beschreibt. Das Ziel des dritten Projekts besteht darin, eine gute Theorie von Nori-Motiven und motivischen Galois-Gruppen über Körpern positiver Charakteristik zu entwickeln und sie mit der Theorie der Voevodsky-Motive wie im Charakteristik Null Setting in Beziehung zu setzen. Ein Teil dieses Projekts ist von einem neuen motivischen Ansatz für Unabhängigkeit-von-l-Fragen inspiriert. Das Ziel des vierten Projekts besteht darin, zu untersuchen, wie allgemeine Sechs-Funktoren-Formalismen motivischen Ursprungs in Form quasi-kohärenter derivierter Kategorien auf geeigneten Stacks umformuliert werden können; die motivische Galois-Theorie wird eine wichtige Rolle spielen, mit möglichen Anwendungen für andere Projekte. Das vorgeschlagene Forschungsprogramm wird neue Belege für die erwartete Gleichwertigkeit von Voevodskys und Noris Ansätzen für gemischte Motive liefern, auch ohne einen direkten Angriff auf diese tiefgreifende Vermutung zu versuchen.

• DFG-Verfahren: WBP Stelle