Instabile eta-periodische und eta-vollständige motivische Homotopietheorie

• Antragsteller: Professor Dr. Tom Bachmann
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2025
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 568120925

Ziel dieses Projektes ist die Entwicklung neuer, nützlicher Zerlegungen gewisser motivischer Räume, also Objekte der motivischen Homotopiekategorie von Morel und Voevodsky. Das wird nützliche Berechnungsmethoden von der stabilen in die instabile motivische Homotopietheorie erweitern. Genauer gesagt werden wir, für einen motivischen Raum X, eine eta-Vervollständigung X_eta^ und eine eta-Periodisierung eta^{-1}X konstruieren, Berechnungsmethoden für ebendiese bereitstellen und beweisen, dass Periodisierung und Vervollständigung zusammen ein "fracture square" bilden. Auf diese Weise kann X in einen "klassischen" Teil X_eta^ und einen "exotischen" Teil eta^{-1}X zerlegt werden. Dadurch werden Fragen über X auch in zwei Teile zerlegt: einen Teil der durch klassische Methoden angreifbar ist, und einen "exotischen" Teil, der, etwas überaschender Weise, auch oft angreifbar ist (durch völlig andere Methoden). Ein interessanter technischer Aspekt ist, dass die Definition der instabilen eta-Periodisierung analogien aufweist zu Bousfields instabiler teleskopischer Homotopietheorie. Auf diese Weise können gewisse Pathologien einer naiveren Definition vermieden werden. Wir werden eine motivische Version des berühmten Bousfield--Kuhn Funktors definieren; im günstigsten Fall sollte dies erlauben, S^1-stabile eta-periodische motivische Homotopietheorie innerhalb der P^1-stabilen Theorie zu lokalisieren. Unsere neuen Methoden werden neue Berechnungen in instabiler motivischer Homotopietheorie erlauben. Zum Beispiel können wir unser neues "fracture square" auf BGL_n anwenden und somit hoffentlich neue Erkenntnisse über algebraische Vektorbündel auf affinen Varietäten erhalten.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen