Die Sinkhorn Distanz: Die Riemannsche Struktur von entropischem optimalem Transport

• Antragsteller: Professor Dr. Bernhard Schmitzer
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2025
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 569461875

Die formale Riemannsche Struktur, die von Optimalem Transport induziert wird, ist eine natürliche Methode für den Vergleich und die Manipulation von Wahrscheinlichkeitsmaßen und ist daher zu einem beliebten Werkzeug in der geometrischen Datenanalyse avanciert. Fortwährende Herausforderungen sind die relativ hohe algorithmische Komplexität und die Schwierigkeit, die Wassersteinmetrik in hohen Dimensionen von empirischen Stichproben zu schätzen. Beide Probleme werden durch entropische Regularisierung entschärft. Diese Regularisierung führt zu einer neuen, spannenden dynamischen Struktur in der Form der sog. Schrödinger Brücken, jedoch induziert diese keine Metrik. Dies wird teilweise überwunden durch die entzerrte Sinkhorn Divergenz, welche jedoch nicht die Dreiecksungleichung erfüllt. Dies schränkt die Anwendbarkeit bei Interpolationen, Gradientenflüssen und lokaler Linearisierung ein. Wir haben vor Kurzem eine neue Riemannsche Struktur auf dem Raum der Wahrscheinlichkeitsmaße eingeführt, indem wir die Hessematrix der Sinkhorn Divergenz als metrischen Tensor zugrunde gelegt haben. Dieser Ansatz kombiniert die Eleganz der Wassersteinmetrik mit der Glattheit der entropischen Regularisierung. Die induzierte Distanz metrisiert die schwach-* Konvergenz auf Wahrscheinlichkeitsmaßen und ist äquivalent zur Norm in einem Reproducing Kernel Hilbert Space (RKHS) der durch den entropischen Transportkern induziert wird. Translationen sind Geodäten bezüglich dieser neuen Metrik und sie ist offenbar robust gegenüber Fluktuationen unterhalb der Längenskala der entropischen Glättung. Letzteres macht die Metrik praktikabel für empirische Approximation. Particle Methods sind zurzeit sehr erfolgreich in der Anwendung auf statistische Probleme wie hochdimensionale generative Dichteschätzung. In diesem Projekt werden wir die Eigenschaften der neuen Metrik genauer untersuchen und ihr Potential als Grundlage für geometrische Particle Methods entwickeln.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen