Randomisierte Gaborsysteme und datenadaptive, nichtstationäre Kernel-Methoden

• Antragstellerin: Dr. Laura Weidensager
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2025
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 569580074

Dieses Projekt verbindet zentrale Konzepte aus der Approximationstheorie, den Kernel-Methoden und der Signalverarbeitung, um adaptive Funktionsapproximationsalgorithmen zu analysieren. Im Fokus stehen nicht-äquidistante Gabor Systeme zur Approximation hochdimensionaler Funktionen. Diese Systeme kombinieren trigonometrische Polynome mit reellen Frequenzen und eine feste Fensterfunktion, die einen Verschiebungsparameter enthält. Die Frequenz- und Verschiebungsparameter werden zufällig gemäß einer vorgegebenen Dichte gewählt. Ziel ist es, eine fundierte theoretische Grundlage für solche randomisierten Gabor Systeme zu entwickeln, die sich besonders gut an lokale Strukturen der Zielfunktion anpassen. Das stellt eine Verallgemeinerung der Theorie der random Fourier features dar. WP1 untersucht die Auswirkungen der Randomisierung auf Stabilität und Vollständigkeit der Gabor Systeme sowie die Eignung verschiedener Funktionenräume für die Approximation. Zudem wird der neue Ansatz im Hinblick auf Konvergenzverhalten und Generalisierungsfehler mit klassischen Basisentwicklungen verglichen. Wir möchten außerdem Schranken für den Generalisierungsfehler aufstellen. WP2 widmet sich der Entwicklung datenadaptiver Gabor-basierter Kernelmethoden, bei denen Frequenz- und Verschiebungsparameter optimiert werden sollen. In WP2.1 kommt ein gewichteter Kleinste-Quadrate-Ansatz unter Verwendung der Christoffel-Funktion zum Einsatz. In WP2.2 sollen die Koeffizienten sowie Frequenz- und Verschiebungsparameter simultan optimiert werden, durch Minimierung des empirischen Fehlers. Zudem sollen auch Methoden aus Compressed Sensing untersucht werden. In WP2.3 wird die Verteilung der Parameter mithilfe von Quasi-Monte-Carlo-Methoden verbessert. WP3 erweitert Methoden der globalen Sensitivitätsanalyse auf lokal adaptierte Funktionsdarstellungen. Dazu werden Gradienten basierte Maße und lokale Sensitivitätsindizes an nicht-äquidistante Gabor Systeme angepasst, um den Einfluss lokaler Sensitivität auf Parameterwahl, Fensterfunktionen und Samplingstrategien zu analysieren. Sensitivitätsanalyse ist wichtig für die Beschreibung hoch-dimensionaler Funktionen wegen dem Fluch der Dimensionen. WP4 konzentriert sich auf die Entwicklung und Implementierung schneller, effizienter, skalierbarer Algorithmen, die sich an lokale Funktionsstrukturen anpassen. Die theoretischen Ergebnisse aller Arbeitspakete werden durch numerische Experimente validiert.

• DFG-Verfahren: WBP Stipendium
• Internationaler Bezug: Kanada
• Gastgeber: Professor Dr. Ben Adcock