PDE Dynamik von Multiskalen Systemen via einem GSPT Ansatz- Eine Studie anhand von ökologischen Modellen

• Antragsteller: Jan-Eric Sulzbach, Ph.D.
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2025
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 571660837

Dieses Forschungsprojekt beschäftigt sich damit, wie komplexe Muster in der Natur entstehen - insbesondere in Trockengebieten wie Wüsten und Steppen. In diesen Gebieten sieht man oft faszinierende, aber rätselhafte Vegetationsmuster, etwa Streifen oder Flecken. Wissenschaftler gehen heute davon aus, dass diese Muster durch das Zusammenspiel von Pflanzen, Oberflächen- und Grundwasser sowie Umwelteinflüssen wie Niederschlag entstehen. Dieses Vorhaben baut auf sogenannten Reaktions-Diffusions-Systemen auf. Das sind mathematische Modelle, die zeigen, wie sich unterschiedliche Stoffe ausbreiten und miteinander reagieren. Bereits in den 50er Jahren zeigte der Mathematiker Alan Turing, dass solche Modelle natürliche Muster erzeugen können, wenn sich die Stoffe unterschiedlich schnell bewegen (diffundieren). Seitdem wurden diese Modelle erfolgreich auf viele Bereiche angewendet, etwa auf die Entstehung von Tierfellmuster oder das Wachstum von Pflanzen. Ein besonders bekanntes Modell aus der Ökologie, welches hier betrachtet wird, ist das Klausmeier Modell. Es beschreibt, wie Wasser und Vegetation zusammenwirken. Es berücksichtigt dabei Faktoren wie Regenfälle, Pflanzenwachstum, Wasserabfluss und Verdunstung. Mit diesem Modell können Wissenschaftler untersuchen, wie sich Klimaveränderungen auf die Ausbreitung von Wüsten oder den Zusammenbruch von Ökosystemen auswirken könnten. Die Herausforderung dabei ist: Während diese Modelle in vereinfachten Fällen gut funktionieren, sind realitätsnahe Systeme viel komplexer. Beispielsweise regnet es nicht gleichmäßig - Regenmengen ändern sich über Zeit und Ort. Außerdem betrachten viele Modelle nur eine Dimension, aber unsere Umwelt ist dreidimensional und ständig in Veränderung. Um diese Herausforderungen zu bewältigen, soll eine leistungsfähige mathematische Methode namens Geometrische Singuläre Störungstheorie (GSPT) erweitert werden. GSPT hilft traditionell dabei, Systeme zu untersuchen, in denen Prozesse auf sehr unterschiedlichen Skalen ablaufen. Bisher konnte GSPT jedoch hauptsächlich für einfache, kleine Systeme angewandt werden. Dieses Forschungsprojekt möchte GSPT jedoch so weiterentwickeln, dass sie auch für große, komplexe Systeme geeignet ist, die mit partiellen Differentialgleichungen beschrieben werden. Das Projekt ist um drei Hauptziele herum strukturiert, von denen jedes sowohl die Weiterentwicklung theoretischer Grundlagen als auch deren Anwendung auf Modelle für Trockengebiete als wichtige Fallstudie betont. Die Ziele sind: Mathematische Werkzeuge verbessern (GSPT für RDS), Übergänge verstehen (Bifurkationen) und jahreszeitliche und räumliche Veränderungen erforschen. Zusammengefasst geht es in diesem Projekt darum, bessere mathematische Werkzeuge zu entwickeln, um zu verstehen, wie natürliche Systeme unter Stress reagieren – eine Frage, die angesichts des Klimawandels immer wichtiger wird.

• DFG-Verfahren: WBP Stipendium
• Internationaler Bezug: Niederlande
• Gastgeber: Professor Dr. Arjen Doelman