Antike Lösungen des lichtartigen mittleren Krümmungsflusses

• Antragsteller: Dr. Markus Wolff
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung in 2025
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 571879798

Der lichtartige mittlere Krümmungsfluss, eine Version des mittleren Krümmungsflusses entlang einer lichtartigen Hyperfläche, wurde zuerst von Roesch und Scheuer und später vom Antragsstellenden erforscht. Das Ziel des beantragten Projektes ist es die Struktur von antiken Lösungen des lichtartigen mittleren Krümmungsflusses zu untersuchen. Geometrische Flüsse sind einer der Grundpfeiler der modernen geometrischen Analysis und finden in vielen Bereichen, wie der mathematischen Physik, ihre Anwendung. Eine Lösung eines geometrischen Flusses wird antik genannt, wenn sie für alle Zeit in die Vergangenheit existiert. Dies hat oft eine starke Rigidität der Lösung zu Folge, die wichtige Aufschlüsse über den umgebenden Raum gibt. Obwohl geometrische Flüsse ein mächtiges Werkzeug sind und antike Lösungen auch heute noch ein aktuelles Forschungsthema sind, wurden geometrische Flüsse entlang einer lichtartigen Hyperfläche erst in jüngeren Jahren erforscht. Im Kontext der allgemeinen Relativitätstheorie modelliert eine lichtartige Hyperfläche die Ansammlung aller Bahnen von Lichtstrahlen, die von einer Lichtquelle, wie einem Stern oder einer Galaxie, ausstrahlen. Da uns Informationen von weit entfernten Himmelskörpern in Form von Strahlung entlang solcher lichtartiger Hyperflächen erreichen, sind Definitionen von Erhaltungsgrößen, wie Masse und Massenschwerpunkt, von besonders physikalischer Relevanz. In diesem Projekt wollen wir antike Lösungen des lichtartigen mittleren Krümmungsflusses in asymptotisch flachen lichtartigen Hyperflächen konstruieren. Des Weiteren wollen wir die konstruierten Lösungen im Hinblick auf Massenschwerpunktdefinitionen und die Anwendung bezüglich geometrischen Ungleichungen untersuchen. Ein zentrales Werkzeug stellt hierbei die Entwicklung eines geeignetes Kompaktheitssatzes für Lösungen des Flusses dar, mit dessen Hilfe die gewünschten antiken Lösungen durch eine geeignete Folge von Koordinatensphären konstruiert werden können. Wir erwarten, dass die Masse im unendlichen einen stabilisierenden Effekt auf die Niveauflächen des Flusses hat, der wiederum eine geeignete Rigidität und die gewünschten Eigenschaften des Flusses zur Folge hat. Da geeignete Definitionen von Erhaltungsgrößen im lichtartigen Fall unter Umständen mit echten physikalischen Messungen verglichen werden können, ist die Beziehung zwischen diesen Erhaltungsgrößen und der Struktur von geometrischen Flüssen sowohl von einer mathematischen, als auch von einer physikalischen Perspektive hoch relevant. Darüber hinaus erwarten wir, dass die Niveauflächen der antiken Lösung bedeutsame Vorteile gegenüber anderen Blätterungen besitzen und möglicherweise Anwendungen zu offenen Fragen, wie zum Beispiel der Gültigkeit der Penrose Ungleichung im lichtartigen Fall, haben.

• DFG-Verfahren: WBP Stipendium
• Internationaler Bezug: Österreich
• Gastgeber: Professor Michael Eichmair, Ph.D.