Mathematische Grundlagen der Dichtefunktionaltheorie – Das Darstellbarkeitsproblem

• Antragsteller: Dr. Thiago Carvalho Corso
• Fachliche Zuordnung: Mathematik ; Theoretische Chemie: Elektronenstruktur, Dynamik, Simulation
• Förderung: Förderung seit 2025
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 572811220

Dichtefunktionaltheorie (DFT) ist die am weitesten verbreitete Methode zur Berechnung elektronischer Struktur. Ein Hauptgrund für den Erfolg der DFT ist das Kohn-Sham-Verfahren, das zusammen mit gängigen approximativen Austauschkorrelationsfunktionalen (xc-)Funktionalen die Berechnung der Grundzustandseigenschaften elektronischer Systeme mit angemessener Genauigkeit und relativ geringem Rechenaufwand ermöglicht. Ein wesentlicher Nachteil der DFT gegenüber Wellenfunktionsmethoden besteht jedoch darin, dass systematische Verbesserungen von DFT-Berechnungen im Allgemeinen nicht möglich sind. Einer der Gründe dafür ist, dass die Näherungseigenschaften der verschiedenen in der Literatur vorgeschlagenen xc-Approximationsfunktionale nicht gut verstanden sind. Tatsächlich ist selbst die Existenz eines exakten Austauschkorrelationspotentials, das approximiert werden soll, mathematisch fragwürdig. In diesem Projekt untersuchen wir die Existenz, Eindeutigkeit und Regularität des exakten xc-Funktionals aus einer streng mathematischen Perspektive. Im Einzelnen möchten wir die folgenden Punkte behandeln. Zuerst streben wir eine vollständige Lösung des v-Darstellbarkeitsproblems an. Dieses Problem besteht grob gesagt darin, die Menge aller möglichen Einzelteilchendichten im Grundzustand für die Familie der Schrödinger-Operatoren mit einer gegebenen Klasse externer Potentiale zu charakterisieren. Insbesondere spielt das v-Darstellbarkeitsproblem eine grundlegende Rolle für eine mathematisch fundierte Formulierung des Kohn-Sham Verfahren. In diesem Projekt wollen wir dieses Problem durch die Untersuchung geeigneter Klassen von Verteilungspotentialen angehen. Dies erreichen wir durch die Kombination konvexer und funktionalanalytischer Techniken mit Werkzeugen der Potentialtheorie. Im zweiten Teil des Projekts werden wir die asymptotischen Eigenschaften verschiedener Funktionale in bestimmten physikalisch relevanten Bereichen untersuchen. Solche Studien sind für die Entwicklung approximativer Funktionale von entscheidender Bedeutung und tragen zu einem besseren Verständnis ihrer Grenzen bei. In dieser Phase planen wir, die Ergebnisse des ersten Teils des Projekts mit der Theorie des optimalen Transports und Werkzeugen der semiklassischen Analysis zu kombinieren.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen