Invariante Kontaktstrukturen und systolische Ungleichungen

• Antragsteller: Dr. Simon Vialaret
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2025
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 572978773

Eine Klasse von Kontaktformen auf einer Kontaktmannigfaltigkeit der Dimension 2n-1 erfüllt eine systolische Ungleichung, wenn es in dieser Klasse eine einheitliche obere Schranke für das systolische Verhältnis gibt, nämlich das Verhältnis zwischen der n-ten Potenz der kleinsten Periode einer geschlossenen Umlaufbahn des Reeb-Flusses und dem Kontaktvolumen der Mannigfaltigkeit. Dies ist eine Verallgemeinerung eines gut untersuchten Begriffs aus der Riemannschen Geometrie. Außerdem ist bekannt, dass eine Vermutung von Viterbo über symplektische Kapazitäten konvexer Gebiete und eine Vermutung von Mahler über das Volumenprodukt konvexer Mengen als systolische Ungleichungen für bestimmte Kontaktformen auf Sphären umformuliert werden können. Es ist bekannt, dass bei einer beliebigen geschlossenen Mannigfaltigkeit die Menge aller Kontaktformen auf dieser Mannigfaltigkeit niemals eine systolische Ungleichung erfüllt. Andererseits sind die lokalen Maximierer des systolischen Verhältnisses vollständig charakterisiert. In meiner Doktorarbeit habe ich gezeigt, dass auf dreidimensionalen Seifert-Bündeln die Klasse der Kontaktformen, die unter der zugrundeliegenden Kreisaktion invariant sind, eine systolische Ungleichung erfüllt, unter der Annahme, dass der Seifert-Raum eine Euler-Klasse ungleich Null hat. Im Fall von straffen Kontaktformen auf Prinzipalbündeln über der Zwei-Sphäre habe ich die optimale Schranke für das systolische Verhältnis erhalten. Dieses Ergebnis ist im Wesentlichen scharf: Die systolische Ungleichung gilt nicht mehr für Kontaktformen, die unter einer diskreten Gruppenaktion invariant sein. In diesem Projekt möchte ich die Untersuchung der systolischen Ungleichungen für Kontaktformen, die unter Gruppenaktionen invariant sind, fortsetzen. Es hat zwei Ziele. Erstens möchte ich mich auf die höherdimensionale Umgebung konzentrieren. In diesem Fall ist die Vielfalt der möglichen Gruppenaktionen viel größer. Ich erwarte, dass sowohl systolische Freiheit als auch systolische Ungleichheiten für invariante Kontaktformen auftreten, abhängig von der Dimension der handelnden Gruppe. Darüber hinaus möchte ich scharfe Ungleichheiten für bestimmte Klassen von Kontaktformen beweisen, nämlich cohomogeneity-one Riemannsche Metriken und sternförmige Domänen im symplektischen Standardraum, die unter einer Torusaktion invariant sind. Die zweite Richtung besteht darin, scharfe systolische Ungleichungen für Kontaktformen auf dem Dreifachtorus zu beweisen, die unter einer Zweitorus-Aktion invariant sind. Diese Klasse von Reeb-Flüssen ist unerwartet reichhaltig, und eine systolische Ungleichung in dieser Umgebung kann in eine zahlengeometrische Aussage über die Existenz Gitterpunkte im Inneren bestimmter sternförmiger Gebiete in der Ebene übersetzt werden. Ich plane, die Beziehung zwischen solchen zahlengeometrischen Ergebnissen, systolischen Ungleichungen und symplektischen Kapazitäten bestimmter Lagrange-Produkte in R4 zu untersuchen.

• DFG-Verfahren: WBP Stelle