Geometrie im Großen der hochdimensionalen Expansion

• Antragsteller: Professor Dr. Federico Vigolo
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2026
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 574320459

Das Hauptziel dieses Projekts ist es, Methoden der Geometrie im Großen zu nutzen, um Phänomene der hochdimensionalen Expansion zu erforschen. Das "im Großen" oder "grobgeometrische" Paradigma zielt darauf ab, Schlüsselmerkmale globaler geometrischer Eigenschaften von Räumen zu entdecken, indem man lokale Struktur ignoriert. Dies ist eine sehr mächtige Herangehensweise, die die Grundlage für ein großes Stück moderner Mathematik bildet. Expander-Graphen sind Folgen endlicher Graphen, die trotz abnehmender Dichtigkeit stark zusammenhängend bleiben. Diese Objekte spielen eine grundlegende Rolle in mehreren Aspekten sowohl der reinen Mathematik als auch der Informatik. Kritisch ist die Tatsache, dass die Eigenschaft der "stark zusammenhängend sein" (oder "Expansion") grobgeometrisch ist, und dies ermöglicht es, Techniken der Geometrie im Große zu verwenden, um Expander-Graphen zu konstruieren und zu studieren. Höherdimensionale Versionen der Expansion haben in jüngerer Zeit an Bedeutung gewonnen (z.B. für die Konstruktion gut lokaltestbarer Codes in der Informatik): hier ist die Rolle der Graphen von Simplicialkomplexe übernommen, und die Expansionseigenschaft wird in Bezug auf spektrale Eigenschaften diskreter Laplace-Operatoren ausgedrückt. Diese höherdimensionale Einstellung wurde noch nicht aus einer Grobgeometrische-Perspektive untersucht, und eines der Ziele dieses Projekts ist es, diese Lücke zu schließen. Das erste konkrete Ziel ist es, Geometrie im Großen als Leitprinzip zu verwenden, um höherdimensionale Expanderkomplexe durch Diskretisierung gewisser "sehr mischender" Gruppenwirkungen zu konstruieren. Dies stellt auch einen ersten Schritt in einer Untersuchung der hochdimensionalen Dynamik für Gruppenwirkungen dar. Ein zweites Ziel ist es, diese Konstruktion mit der sogenannten grob Baum-Connes-Vermutung zu kontrastieren. Ein sehr wichtiger Erfolg letztes Jahrhunderts war die Verbindung der topologischen und der analytischen Welt, beispielsweise durch das Atiyah-Singer-Index-Theorem. Eine solche Verbindung ist die Konstruktion eines "Assembly Map" von der grob K-Homologie eines metrischen Raumes zur K-Theorie seines Roe-Algebras. Es wurde zunächst vermutet, dass diese Homomorphismus immer ein Isomorphismus ist, ein Fakt, der enorme tiefgreifende Konsequenzen hätte. Diese Aussage ist leider falsch im allgemein, aber gilt für eine sehr breite Klasse metrischer Räume - die Haupt-Gegentbeispiele stammen aus Expander-Graphen. Eines der zweiten Hauptziele dieses Vorschlags ist es, zu untersuchen, wie die hochdimensionale Expansion mit diesen Assembly Map interagiert. Die Ziele sind zweifältig: Einerseits strebe ich danach, die Phänomene zu verstehen, die die bekannte Fehlschlag der grob Baum-Connes-Vermutung begründen. Andererseits scheint die vorgeschlagene Konstruktion von hochdimensionalen Expandern ein gültiger Kandidat zu sein, um das erste Beispiel von Räumen zu liefern, für die die Assembly Map nicht injektiv ist.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen