Der modulare Hamiltonoperator und relative Entropie in wechselwirkenden Quantenfeldtheorien

• Antragsteller: Dr. Markus Fröb
• Fachliche Zuordnung: Kern- und Elementarteilchenphysik, Quantenmechanik, Relativitätstheorie, Felder ; Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2026
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 574438490

Die Tomita-Takesaki-Theorie der modularen Flüsse in von-Neumann-Algebren fand in den letzten Jahren vielfältige Anwendungen in der Hochenergie- und Festkörperphysik, als ein Werkzeug zur Untersuchung von Energie, Entropie und Verschränkung in Quantenfeldtheorie (QFT) und semiklassischer Gravitation. Das zentrale Objekt der Theorie, der einem Quantenzustand und einer Raumzeitregion zugeordnete modulare Hamiltonoperator, ist jedoch nur in wenigen Beispielen bekannt. Diese beinhalten hauptsächlich Theorien und Regionen mit hoher Symmetrie, z.B. konforme Theorien in Doppelkegeln. Der einzig bekannte modulare Hamiltonoperator für eine allgemeine QFT in der Minkowski-Raumzeit ist der von Bisognano und Wichmann, der für Theorien in einem Rindler-Gebiet gilt. Für nichtkonforme Theorien in endlichen Gebieten, selbst so einfache wie ein freies massives Skalarfeld in einem Doppelkegel, ist die Form des modularen Hamiltonoperators jedoch unbekannt, und seine Bestimmung stellt ein seit langem ungelöstes Problem dar. Ziel dieses Projektes ist es, mathematisch rigorose Methoden der QFT in gekrümmten Raumzeiten anzuwenden, um ein allgemeines Rahmenwerk zur Berechnung des modularen Hamiltonoperators für beliebige wechselwirkende QFTs zu entwickeln. Die Grundidee besteht darin, die vom modularen Fluss erfüllte KMS-Bedingung zu nutzen, um eine Beziehung zwischen dem Integralkern des modularen Hamiltonoperators und den Korrelationsfunktionen der wechselwirkenden Theorie abzuleiten; diese würde eine ähnliche Beziehung für freie Bosonen und Fermionen verallgemeiner. Wir behandeln einige lehrreiche Beispiele, darunter die λφ⁴-Skalartheorie und das Thirringmodell in einem Doppelkegel und dem Rindler-Gebiet. Für letzteres prüfen wir die Konsistenz mit dem Bisognano-Wichmann-Ergebnis; für den Doppelkegel erhalten wir völlig neue Ergebnisse, die auch die Beziehung zur Spuranomalie klären, welche die Brechung der konformen Invarianz in der Quantentheorie beschreibt. Darüber hinaus werden wir eine offene Vermutung bzgl. des inversen Problems lösen, nämlich die Konstruktion eines Quantenzustands für einen vorgegebenen modularen Hamiltonoperator. Diese Vermutung spielt eine wichtige Rolle für die Observablenalgebra eines Beobachters in semiklassischer Gravitation, und für ihre Auflösung benutzen wir Methoden der Störungstheorie von KMS-Zuständen auf von-Neumann-Algebren. Ein weiteres Ziel ist die Bestimmung des modularen Hamiltonoperators für ein freies massives Skalarfeld in einem Doppelkegel, der sich bisher allen Lösungsversuchen widersetzt hat. Wir schlagen einen neuen indirekten Weg vor: zuerst zeigen wir die Konvergenz der Störungsreihe in der Masse für massive Fermionen und nutzen anschließend Supersymmetrie, um das Ergebnis auf die Skalartheorie zu übertragen. Als letzte Anwendung werden die durch die Ausdehnung des Weltalls erzeugte Entropie berechnen, indem wir die Araki-Formel für die relative Entropie auf den Bunch-Davies- und den Minkowski-Vakuumszustand anwenden.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen