Kontinuierliche kurvenbasierte Approximationen in der konvexen multikriteriellen Optimierung

• Antragstellerin: Professorin Dr. Gabriele Eichfelder
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2026
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 576381369

In diesem Projekt möchten wir die Möglichkeiten der Approximation der Menge der nichtdominierten Punkte eines konvexen nichtlinearen multikriteriellen Optimierungsproblems durch nichtlineare Kurven untersuchen. Genauer gesagt möchten wir uns auf bikriterielle konvexe nichtlineare Optimierungsprobleme konzentrieren, d. h. Probleme mit zwei Zielfunktionen. Wir planen deren nichtdominierte Menge durch nichtlineare ebene Kurven zu approximieren. Es gibt dabei drei Möglichkeiten, ebene Kurven zu beschreiben: (i) explizit, als Graph einer univariaten reellwertigen Funktion, (ii) implizit, als Levelmenge einer bivariaten reellwertigen Funktion und (iii) parametrisch, als Bildmenge einer univariaten vektorwertigen Funktion. Wir wollen die ersten beiden Beschreibungen von ebenen Kurven untersuchen. Im Fall von (i) wollen wir bereits bekannte Ergebnisse für die Approximation konvexer Funktionen nutzen. Wir planen, die etablierten Sandwich-Methoden für konvexe Funktionen als Ausgangspunkt zu verwenden und die dort konstruierten polygonalen Funktionen zu glätten, da glatte Funktionen für komplexere weiterführende Aufgaben praktischer sind. Im Fall von (ii) wollen wir parametrische Funktionen finden, deren Levelmenge konvexe ebene Kurven sind oder enthalten. Eine vielversprechende Klasse von Funktionen sind die gewichteten p-Normen, da ihre Einheitskreise geschlossene konvexe Kurven sind. In beiden Fällen planen wir die Entwicklung eines Algorithmus, bei dem in jedem Schritt eine Approximation konstruiert und der Fehler zwischen dieser und der tatsächlichen Menge der nichtdominierten Punkte in jeder Iteration reduziert wird. Darüber hinaus möchten wir diese Approximationen zur Lösung komplexerer Optimierungsprobleme einsetzen. Als erste Anwendung nichtlinearer Approximationen der Menge nichtdominierter Punkte möchten wir die Menge nichtdominierter Punkte konvexer gemischt-ganzzahliger bikriterieller Optimierungsprobleme approximieren. Dazu wird das gemischt-ganzzahlige Problem durch Festlegen der ganzzahligen Zuordnungen in mehrere kontinuierliche Teilprobleme, sogenannte Patch-Probleme, unterteilt. Anschließend wird eine Approximation der nichtdominierten Menge solcher Patch-Probleme konstruiert und diese Approximationsmengen werden vereinigt. Diese Vereinigung liefert dann eine Approximation der Menge der nichtdominierten Punkte des konvexen gemischt-ganzzahligen biobjektiven Optimierungsproblems. Eine zweite Anwendung der vorgeschlagenen Approximationen ist die Optimierung über der Menge der effizienten Punkte, d.h. Optimierungsprobleme, deren zulässige Menge die Menge der effizienten Punkte eines multikriteriellen, in unserem Fall bikriteriellen, Optimierungsproblems ist. Wir planen die Entwicklung eines approximativen Branch-and-Bound-Algorithmus, bei dem die Approximationen zur Formulierung von Relaxationen des ursprünglichen Problems verwendet werden.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen