Diffraktionstheorie jenseits translastionsbeschränkter Maße

• Antragsteller: Jan Mazac
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2026
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 579756950

Das Hauptziel des Antrages besteht darin, die etablierte Diffraktionstheorie translationsbeschränkter Maße in zwei Hauptrichtungen zu erweitern. Die erste Richtung zielt jenseits der Translationsbeschränkheit. Wir wollen die sogenannten kristallinen Maße, eingeführt von Meyer, mit Hilfe der Theorie der milden Distributionen und Fastperiodizität analysieren. Die kristallinen Maße sind temperierte Distributionen, deren Träger sowie der Träger von ihrer Fourier-Transformation lokal endlich und diskret sind. Der erste Schritt ist die Analyse eines bestimmten Beispiels eines solchen Maßes, das von Guinand entdeckt wurde. Diese Distribution ist nicht translationsbeschränkt, aber wenn sie mit einer Testfunktion mit kompaktem Träger gefaltet wird, ergibt sie eine stark fastperiodische Funktion. Dies ist der Anfangspunkt für die weitere Analyse in mehrere Richtungen. Es geht uns darum, das Beispiel so tief wie möglich zu verstehen, denn wir erwarten, dass der Zugang sich auf eine ganze Unterklasse von kristallinen Maßen erweitern lässt. Wir wollen besser und allgemeiner verstehen, unter welchen Bedingungen stark fastperiodische Funktionen aus Distributionen entstehen. Insbesondere interessiert uns die folgende Frage: Gegeben eine Familie von Testfunktionen, was sind die Distributionen, die fastperiodisch bzg. dieser Familie sind? Das zweite Ziel des Antrages ist, die noch junge Theorie der Diffraktion von Mengen der Dichte Null weiterzuentwickeln. Wir wollen mit diesen Mitteln Fixpunkte von bestimmten Substitutionen untersuchen, die Punktmengen mit Dichte Null erzeugen. Offenbar ist dies eng mit Cantromengen (oder mit dicken Cantormengen) verbunden. Wir wollen diese Verbindung klären und nutzen, um eine neue Facette der Theorie aperiodischer Ordnung zu erkunden. Wir planen diese Mengen als Streifenprojektionsmengen zu beschreiben und die zugehörige anzahlnormierte Autokorrelation explizit zu bestimmen. Wir erwarten neue Phänomene, die außerhalb der bisherigen Ergebnisse für reguläre Streifenprojektionsmengen liegen. Außerdem wollen wir noch die sogenannten Behrend Subshifts analysieren. Für diese erwarten wir ebenfalls eine Beschreibung als schwache Streifenprojektionsmenge. Das sollte dann als erster Schritt für die Diffraktionsanalyse von d-freien Systemen in höheren Dimensionen dienen.

• DFG-Verfahren: Stelle