Biegungsgesteuerte geometrische Variationsprobleme: Singularitäten, Dynamik, und nichtlokale Effekte

• Antragsteller: Dr. Fabian Rupp
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2026
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 580168218

Viele Formen in der Natur entstehen durch die Minimierung von Energiefunktionalen. Ein klassisches Beispiel sind Seifenhäute, die ihre Oberfläche minimieren. Fortgeschrittenere Modelle, wie das Willmore-Funktional, berücksichtigen zusätzlich den Widerstand gegen Biegung. Solche krümmungsabhängigen Biegeenergien treten in verschiedenen wissenschaftlichen Disziplinen auf, darunter Materialwissenschaften, Bildverarbeitung, Allgemeine Relativitätstheorie und Zellbiologie. Die mathematische Analysis dieser Energien und ihrer Gradientenflüsse ist äußerst anspruchsvoll, da sie skalierungskritische partielle Differentialgleichungen höherer Ordnung umfassen, die zu Singularitäten oder topologischer Degeneration führen können. Dieses Projekt entwickelt innovative Techniken, um solches singuläres Verhalten zu verstehen, auftretende Strukturen geometrisch zu beschreiben, unphysikalische Phänomene auszuschließen und Lösungen durch singuläre Regime hindurch auf mathematisch konsistente Weise fortzusetzen. Unsere erste Forschungsrichtung führt einen neuen Begriff von schwachen Lösungen für den Willmore-Fluss ein, der auf jüngsten Fortschritten im Bereich des optimalen Transports basiert. Ein Schwerpunkt liegt darauf, Lösungen durch Singularitäten hindurch fortzusetzen, um so deutlich breitere Anwendungen in der geometrischen Analysis und mathematischen Physik zu ermöglichen. Zweitens untersuchen wir kürzlich entwickelte fraktionelle Krümmungsenergien, die langreichweitige Wechselwirkungen erfassen. Wir etablieren schwache variationelle Rahmenbedingungen, um die Existenz und Regularität von Minimierern zu untersuchen, und erforschen Verbindungen zu klassischen lokalen Modellen. Drittens analysieren wir rigoros Variationsmodelle für Biomembranen, verfeinern diese, um unphysikalische Eigenschaften wie Selbstdurchdringung oder Verzweigung zu vermeiden, und ermöglichen eine präzise Beschreibung geometrisch singulärer Prozesse wie der Knospung während der Zellteilung. Schließlich untersuchen wir, motiviert durch Theorie und Anwendungen, entsprechende Freirandprobleme, die mit der Modellierung von inkompressiblen Organellen in der Biomechanik sowie mit der Willmore-Vermutung in höheren Kodimensionen verbunden sind.

• DFG-Verfahren: Emmy Noether-Gruppen