Die Komplexität von Modulkategorien durch Reinheit und ihre Verbindungen zu exakten Strukturen, Schemata von Moduln, und Matrixreduktionen

• Antragsteller: Kevin Schlegel
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2026
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 580964112

Es gibt zentrale Probleme in der Darstellungstheorie endlichdimensionaler Algebren, die die Komplexität von Modulkategorien betreffen, wie die zweite Brauer-Thrall Vermutung und ein besseres Verständnis der zahm-wild Dichotomie. Diese Probleme betreffen die Beschreibung der Struktur und Verteilung unzerlegbarer endlichdimensionaler Moduln. Während über algebraisch abgeschlossene Körper mehr bekannt ist, bleiben viele Fragen im Allgemeinen offen. Sie gelten als schwer zugänglich und in den letzten vierzig Jahren wurde nur wenig Fortschritt erzielt. Außerdem fehlt selbst über einem algebraisch abgeschlossenen Körper häufig ein konzeptionelles Verständnis. In diesem Projekt wollen wir diese Fragen mithilfe moderner Methoden und neuer Verbindungen, die währen der Promotion des Antragstellers entwickelt wurden, weiter vorantreiben. Genauer werden wir auf den neu entwickelten Verbindungen von Reinheit mit Modulschemata, exakten Strukturen und Matrixreduktionen aufbauen. Von besonderem Interesse im Kontext der Reinheit ist das Ziegler Spektrum eines Rings, das seinen Ursprung in der Modelltheorie hat. Für eine endlichdimensionale Algebra entsprechen die endlichdimensionalen unzerlegbaren Moduln den abgeschlossenen und offenen Punkten im Ziegler Spektrum. Das Verständnis ihrer Struktur kann durch ein besseres Verständnis des gesamten Ziegler Spektrums erreicht werden. Eine von uns gezeigte Verbindung zwischen Modulschemata und Reinheit zeigt, dass sich das Ziegler Spektrum bei Beschränkung der Dimension der endlichdimensionalen Moduln wie die konstruierbare Topologie des Schemas verhält. Diese Verbindung haben wir genutzt, um eine Variante der ersten Brauer-Thrall Vermutung für eine große Klasse von Unterkategorien der Modulkategorie einer endlich erzeugten Algebra zu beweisen. Im Rahmen dieses Projekts wollen wir mit diesem geometrischen Ansatz auch Varianten der zweiten Brauer-Thrall Vermutung untersuchen und die zahm-wild Dichotomie besser verstehen. Reinheit verbindet sich außerdem mit Matrixreduktionen und exakten Strukturen, wie in der Promotion des Antragstellers gezeigt wurde. Matrixreduktionen wurden genutzt, um Drozd zahm-wild Dichotomie zu zeigen, und ein Zusammenhang zu exakten Strukturen wurde vermutet, den wir nun indirekt über Reinheit realisieren konnten. Aufbauend auf diesen Ergebnissen wollen wir Matrixreduktionen mit der Sprache exakter Strukturen formulieren. Damit können Methoden aus exakten Strukturen in einem neuen Kontext verwendet werden. Die neu etablierten Verbindungen von Reinheit mit Modulschemata, exakten Strukturen und Matrixreduktionen bieten einen vielversprechenden Ansatz, zentrale Probleme der Darstellungstheorie endlichdimensionaler Algebren anzugehen. Durch die koordinierte Nutzung dieser Methoden zielt das Projekt darauf ab, unser Verständnis fundamentaler Fragen zur Komplexität von Modulkategorien zu vertiefen.

• DFG-Verfahren: Stelle