Effiziente Lokalisierungsindikatoren in der Numerischen Mechanik - von erweiterten Tensorzerlegungen zur Visualisierung von Feldern

• Antragsteller: Professor Dr.-Ing. Andreas Menzel; Professor Dr. Gerik Scheuermann
• Fachliche Zuordnung: Bild- und Sprachverarbeitung, Computergraphik und Visualisierung, Human Computer Interaction, Ubiquitous und Wearable Computing ; Mechanik
• Förderung: Förderung seit 2026
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 582038168

Die Finite-Elemente-Methode (FEM) hat sich heutzutage als zentrale Methode zur Lösung komplexer Randwertprobleme etabliert, beispielsweise für die Konstruktion und Eigenschaftsvorhersage von technischen Bauteilen, Prozessen und Systemen. FE-Lösungen anspruchsvoller Problemstellungen in Bereichen und Disziplinen wie Produktionstechnik, Geophysik oder biomedizinischen Anwendungen können Lokalisierungsphänomene aufweisen, d.h. deutlich höhere Verformungen in bestimmten Bereichen im Vergleich zu deren Umgebung, was zu Änderungen der Art der zu lösenden partiellen Differentialgleichung (Verlust der Elliptizität) und damit zu netzabhängigen Simulationsergebnissen führt. Solche Ergebnisse sind physikalisch nicht plausibel und im Wesentlichen unbrauchbar - die Erkennung solcher Zustände und Belastungsniveaus, bei denen Netzabhängigkeiten auftreten, ist für eine zuverlässige rechnergestützte Konstruktion in technischen Anwendungen von entscheidender Bedeutung. Ein Kriterium zur Identifizierung der Lokalisierung basiert auf der Analyse der Wellenausbreitung bzw. auf der Untersuchung des sogenannten akustischen Tensors - der damit verbundene Rechenaufwand ist jedoch extrem hoch, sodass eine umfassende Analyse auf Basis des akustischen Tensors angesichts der verfügbaren Rechenressourcen derzeit für FE-Simulationen relevanter technischer Anwendungen nicht durchführbar ist. Im Allgemeinen ist die Tensorvisualisierung ein zentrales Werkzeug zur Untersuchung von Tensorfeldern in Anwendungen wie beispielsweise der Mechanik. Zur Unterstützung der Tensor(feld)visualisierung wurden verschiedene Tensorzerlegungen verwendet. Nur wenige Arbeiten verwenden Zerlegungen in spurfreie symmetrische Tensoren, auch Deviatoren genannt, um beispielsweise den Steifigkeitstensor zu visualisieren. Da der akustische Tensor mit Tensoren vom Typ der Steifigkeitstensoren verwandt ist, kann diese deviatorische Zerlegung auch auf die Zerlegung des akustischen Tensors übertragen werden. Die besonderen Eigenschaften dieser Zerlegung sind für die Visualisierung verwandter Eigenschaften besonders attraktiv und darüber hinaus numerisch effizienter als andere bereits etablierte Ansätze. Die erfolgreiche Implementierung solcher lokalisierungsbezogener Visualisierungsansätze und Visualisierungstools verbessert einerseits die Interpretierbarkeit solcher Tensoren erheblich und trägt andererseits zu einer deutlichen Verbesserung der effizienten Identifizierung zulässiger Anwendungsgrenzen im Zusammenhang mit Finite-Elemente Simulationen in der Ingenieurpraxis bei. Daher besteht das Hauptziel dieses Projektes darin, eine effiziente Berechnung und Visualisierung von Lokalisierungsindikatoren zu etablieren, um entsprechende Simulationen erheblich zu beschleunigen und diese neuen Indikatoren den computerorientierten Ingenieur-technischen Simulationen und Anwendungen zur Verfügung zu stellen.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen