Stochastische Teilchenapproximationen für geometrische Evolutionsgleichungen, insbesondere für den Yamabe- und den Ricci-Fluss
Final Report Abstract
Der Ricci- und der Yamabe-Fluss sind Methoden, um eine Riemannsche Matrik auf einer Mannigfaltigkeit zu homogenisieren, d.h. sie so zu deformieren, dass die Krümmung sich möglichst gleichmäßig verteilt. Aus diesem Grund spielt der Ricci-Fluss eine zentrale Rolle beim Beweis der Geometrisierungs- und damit auch der Poincare-Vermutung durch Perelman. Während es mittlerweile umfangreiche Untersuchungen zu den analytischen und geometrischen Eigenschaften des Ricci-Flusses gibt, ist seine mikroskopische Struktur bisher nicht erforscht worden. Dies ist umso erstaunlicher, als zu vielen anderen nichtlinearen partiellen Differentialgleichungen stochastische Teilchenapproximationen konstruiert worden sind. Daher war es das Ziel des Forschungsprojektes, diese Lücke zu füllen und stochastische Teilchensysteme zu konstruieren, die den Ricci-Fluss oder auch den mit ihm verwandten Yamabe- Fluss approximieren. In der ersten Phase des Projekts haben wir uns mit dem Ricci-Fluss auf Flächen, d.h. auf zweidimensionalen Manigfaltigkeiten, befasst. In diesem Fall lässt sich das Studium des Ricci-Flusses auf die Untersuchung einer skalaren Punktion zurückführen, die eine verallgemeinerte Poröse-Medien-Gleichung löst. Zu diesem Typ Gleichungen sind bereits seit einiger Zeit verschiedene Teilchenapproximationen bekannt, allerdings ausschließlich auf flachen, d.h. nicht gekrümmten Räumen. Die Verallgemeinerung dieser Ansätze auf gekrümmte Mannigfaltigkeiten bereitet zusätzliche Schwierigkeiten; dennoch ist es uns gelungen, ein Teiichensystem zu konstruieren, das den zweidimensionalen Ricci-Fluss approximiert. Auf höherdimensionalen Mannigfaltigkeiten ist der Ricci-Fluss wesentlich komplizierter, so dass sich unsere für den Ricci-Fluss auf Flächen entwickelte Methode hier nicht anwenden lässt. Daher haben wir uns in der zweiten Phase des Projektes stattdessen dem sog. Yamabe-Fluss einer vereinfachten Variante des Ricci-Flusses, zugewandt, und auch diesen durch ein Teilchensystem approximiert. In der dritten Phase schließlich haben wir versucht, auch für den höherdimensionalen Ricci-Fluss eine Teilchenapproximation zu konstruieren. Leider ist uns dies trotz intensiver Bemühungen nicht gelungen. Vermutlich sind hierfür Konzepte erforderlich, die wesentlich über die bislang für stochastische Teilchensysteme verwendeten Methoden hinausgehen.
Publications
- A stochastic particle approach to Yamabe flow, Preprint (2008)
Philipowski, R.
- A stochastic particle approximation for the Ricci flow on surfaces
Philipowski, R.
(See online at https://doi.org/10.1007/s11118-010-9216-7) - Approximation of the Ricci flow on surfaces by a stochastic particle system. Preprint (2008)
Philipowski, R.
(See online at https://doi.org/10.1007/s11118-010-9216-7)
