Darstellungen symmetrischer und alternierender Gruppen
Zusammenfassung der Projektergebnisse
Das Projekt wurde von Susanne Danz im Rahmen eines Forschungsstipendiums am MSRI in Berkeley, an der Universität Oxford und an der Friedrich-Schiller-Universität Jena ausgeführt. Es liefert einen Beitrag zur modularen Darstellungstheorie endlicher Gruppen, wobei der Schwerpunkt auf symmetrischen und dazu verwandten endlichen Gruppen liegt. Ausgangspunkt und Motivation waren die Ergebnisse sowie eine Reihe offener Vermutungen aus der Dissertation von S. Danz. Betrachtet man eine endliche Gruppe G und einen algebraisch abgeschlossenen Körper F der Charakteristik p > 0, so kann man jedem unzerlegbaren FG-Modul M einen Vertex zuordnen. Dieser ist eine gruppentheoretische Invariante und ein Maß für die relative Projektivität von M. Darüber hinaus besitzt ein unzerlegbarer FG-Modul M mt Vertex P eine Quelle; dies ist ein im Wesentlichen eindeutig bestimmter unzerlegbarer FP-Modul. Das Projekt zielte darauf ab, Vertizes und Quellen einfacher Moduln der symmetrischen Gruppe Sn, der alternierenden Gruppe An, der Überlagerungsgruppen von Sn sowie der endlichen Gruppen vom Lie-Typ, dargestellt in ihren nichtdefinierenden Charakteristiken, zu untersuchen. Für die symmetrischen Gruppen sollten außerdem auch die Spechtmoduln in die Untersuchungen einbezogen werden. Dies sollte durch Kombination theoretischer Methoden und Methoden der computergestützten Darstellungstheorie geschehen. Im Laufe des Projekts konnten wichtige neue Erkenntnisse über die zu untersuchenden Moduln gewonnen werden. In einer gemeinsamen Arbeit von B. Külshammer und S. Danz wurden die Vertizes und Quellen des FSn-Spinmoduls D(n) in Charakteristik 2 bestimmt. Das Ergebnis beweist eine bereits 2004 von R. Zimmermann formulierte und von S. Danz durch weitere Computerberechnungen bekräftigte Vermutung. Auch wurden die Vertizes und Quellen der einfachen FAn-Moduln berechnet, die als direkte Summanden der Einschränkung von D(n) auf An vorkommen. Eine weitere Arbeit über Vertizes und Quellen einfacher FAn-Moduln entstand in Zusammenarbeit von J. Müller und S. Danz über den natürlichen einfachen FAn-Modul in Charakteristik 2. In einem Artikel von K. Erdmann und S. Danz wurden die Vertizes des Spechtmoduls sowie des einfachen Moduls von FSn zur Partition (n — 2,2) in Charakteristik 2 bestimmt. Mit einer Ausnahme wurden auch die Quellen der Moduln angegeben. In Kombination mit früheren Resultaten von J. Müller/R. Zimmermann und von S. Danz sind nun die Vertizes einfacher FSn-Moduln zu Partitionen der Form (n — m,m) mit m < p(p+1)/2, unabhängig von der Charakteristik von F, bekannt. Darüber hinaus konnten in der Arbeit mit K. Erdmann einige interessante strukturelle Eigenschaften von Permutationsmoduln von p-Gruppen beobachtet werden, die Anlass zu weiteren Untersuchungen geben. Ergänzend zum Ausgangskonzept wurden während des Projekts die Vertizes, Quellen und Green-Korrespondenten der einfachen Moduln der sporadischen einfachen Mathieugruppen M22, M23 und M24 sowie der Überlagerungsgruppen und bizyklischen Erweiterungen von M22 bestimmt. Die Ergebnisse sind in einem weiteren Artikel von B. Külshammer und S. Danz zusammengefasst. Darüber hinaus konnten für zwei der untersuchten Blöcke sowohl Alperins Gewichtsvermutung als auch Broues Vermutung in einer starken Form bestätigt werden. Als weitere Ergänzung zum ursprünglichen Forschungsplan entstand ein Resultat über den ringtheoretischen Begriff der Tiefe von Inklusionen komplexer Gruppenalgebren. Im Anhang an eine Arbeit von S. Burciu, L. Kadison und B. Külshammer haben B. Külshammer und S. Danz die Tiefe der Ringerweiterungen CSn C CSn+1 und CAn C CAn+1 bestimmt. Die Fragen über die Gruppen von Lie-Typ wie auch die über die Überlagerungsgruppen der Sn sind noch weitgehend offen und bedürfen weiterer Forschung. Außerdem haben Computerberechnungen im Zusammenhang mit der Untersuchung der Spechtmoduln und der einfachen FAn-Moduln eine Reihe interessanter Fragen aufgeworfen. So zeichnen sich erste Muster über einen möglichen Zusammenhang der Vertizes eines einfachen FSn-Moduls und des entsprechenden Spechtmoduls sowie das Verhalten von Spechtmoduln in Charakteristik 2 nach Einschränkung auf An ab. Auch hier bieten sich Möglichkeiten für künftige Forschungsprojekte.
Projektbezogene Publikationen (Auswahl)
- Vertices of simple modules for symmetric groups: A survey. Proceedings of the International Conference on Modules and Representation Theory, Babes-Bolyai University Cluj-Napoca, 2008, pp. 61-77
S. Danz, B. Külshammer
- On vertices of simple modules for symmetric groups labelled by two part partitions, Oberwolfach-Reports 17/2009, pp. 16-17
S. Danz,
- The vertices and sources of the basic spin module for the symmetric group in characteristic 2, J. Pure and Applied Algebra 213 (2009), 1264-1282
S. Danz, B. Külshammer
- Vertices, sources and Green correspondents of the simple modules for the large Mathieu groups, J. Algebra
S. Danz, B. Külshammer
(Siehe online unter https://doi.org/10.1016/j.jalgebra.2009.03.035)
