TRR 71:  Geometrische Partielle Differentialgleichungen

• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2009 bis 2013
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 64447639

• Erstellungsjahr: 2014

Zusammenfassung der Projektergebnisse

Der SFB/Transregio 71 "Geometrische Partielle Differentialgleichungen" untersuchte analytische Probleme, die sich aus einem geometrischen Kontext ergeben, entweder in der Differentialgeometrie oder in Anwendungen, die eine geometrische Modellierung erfordern. Mit den beiden Standorten Freiburg und Tübingen, verstärkt durch ein Mitglied von der Universität Zürich, stellte das Projekt ein Zentrum für Geometrische Analysis in den fünf Jahren der Förderung dar. Der Schwerpunkt Geometrische Maßtheorie war ein Alleinstellungsmerkmal des SFB/TR 71. Es wurden Ergebnisse zur Existenz von Minmax Untermannigfaltigkeiten und Partitionsflächen mit kontrolliertem oder vorgeschriebenem topologischen Typ erzielt, sowie eine umfassende Analyse der Relation zwischen Integrierbarkeit der mittleren Krümmung und höherer Rektifizierbarkeit von Varifolds durchgeführt. Forschungen zur Struktur der Menge von Minimierern führten zu optimalen Starrheitsaussagen für topologische Ebenen und Zylinder ohne konjugierte Punkte. Im Bereich des Willmorefunktionals führte das Programm drei verschiedene Forschungsansätze zusammen: Variationsmethoden, integrable Systeme und numerische Analysis. Einen Schwerpunkt bildeten kritische Punkte bei vorgeschriebenem konformen Typ. Es wurden Resultate zur Existenz und Regularität von Minimierern gezeigt sowie zur Klassifikation von Minimierern, stabilen Lösungen und kritischen Punkten. Ein anderer Existenzsatz behandelt das Problem mit vorgeschriebenem isoperimetrischem Verhältnis, mit Relevanz für ein Modell von Helfrich für elastische Zellmembranen. Fokus der Numerik war die Entwicklung eines effizienten und stabilen Algorithmus für den Willmorefluss. Ein zweiter Schwerpunkt war die Modellierung und Diskretisierung von anisotropen geometrischen Funktionalen. Ein Projekt aus der intrinsischen Geometrie befasste sich mit Krümmungsobstruktionen im Sinne von Gromov’s K-area. Eine interessante Entwicklung gab es im Bereich der voll nichtlinearen Krümmungsflüsse in der konformen Geometrie, mit Anwendungen auf interessante geometrische Ungleichungen. Ein grundlegender Punkt des Forschungskonzepts war die Kooperation zwischen Analysis, numerischer Analysis und numerischer Simulation. In dem Bereich Nichtlineare Effekte in Flüssigkeiten war das in hohem Maß realisiert. Dies gilt sowohl für ein Projekt zur Analysis und numerischen Analysis von partiellen Differentialgleichungen auf stationären und zeitlich veränderlichen Flächen, als auch für Forschung zur Interaktion von Fluiden und festen Strukturen. Ein Ergebnis ist hier die Existenz schwacher Lösungen für die Interaktion einer Newtonschen Flüssigkeit mit einer linear elastischen Koiter-Schale. Ein weiteres Projekt hatte die klassischen Eulergleichungen zum Gegenstand, und konstruiert ein erstaunliches Beispiel einer stetigen, dissipativen Lösung. Die Wechselwirkung zwischen Theorie und Numerik war auch im Bereich Geometrie und Dynamik von wesentlicher Bedeutung. Zum Beispiel wurde für Teilchen, deren Bewegung auf eine Untermannigfaltigkeit eingeschränkt ist, zunächst eine effektive Beschreibung im Rahmen der Quantenmechanik hergeleitet, dann wurde diese in eine numerische Methode eingebracht. Für die Riccikrümmung wurde eine Diskretisierung mit finiten Elementen entwickelt und deren Konsistenz bestätigt. Dies führte auch zu Simulationen des Ricci-Flusses. Singularitäten des Ricci-Flusses waren auch Motivation für die Analysis von unteren Krümmungsschranken bei Verheftungskonstruktionen. Am Erstantrag waren fünf Nachwuchswissenschaftler beteiligt. Schon vor Ablauf der ersten Förderperiode hatten diese (zum Teil mehrere) Rufe auf Professuren erhalten und angenommen. Auf der anderen Seite hatte der SFB/Transregio 71 auch wesentlichen Einfluss auf Berufungen und die wissenschaftliche Entwicklung an beiden Standorten Freiburg und Tübingen.

Projektbezogene Publikationen (Auswahl)

• Genus bounds for minimal surfaces arising from min-max constructions, J. Reine Angew. Math. 644 (2010), 47–99
  De Lellis, C. and Pellandini, F.
  
• Lawson’s genus two surface and meromorphic connections, Math. Z. 274, Issue 3-4, 745–760
  Heller, S.
  
• Conformal maps from a 2-torus to the 4-sphere, J. Reine Angew. Math. 671 (2012), 1–30
  Bohle, C., Leschke, K., Pedit, F. and Pinkall, U.
  
• Decay estimates for the quadratic tilt-excess of integral varifolds, Arch. Ration. Mech. Anal. 204 (2012), no. 1, 1–83
  Menne, U.
  
• Isoperimetric inequalities for minimal surfaces in Riemannian manifolds: a counterexample in higher codimension, Calc. Var. Partial Differential Equations 45 (2012), 455–466
  Bangert, V. and R öttgen, N.
  
• Ln/2-Curvature Gaps of the Weyl Tensor, J. Geom. Anal.
  Listing, M.
  
• Runge-Kutta time discretization of parabolic differential equations on evolving surfaces, IMA J. Numer. Anal. 32 (2012), 394–416
  Dziuk, G., Lubich, Ch., Mansour, D.
  
• W 2,2-conformal immersions of a closed Riemann surface into Rn, Comm. Anal. Geom. 20 (2012), no. 2, 313–340
  Kuwert, E., Li, Y.
  
• Willmore minimizers with prescribed isoperimetric ratio, Arch. Ration. Mech. Anal. 203 (2012), 901–941
  Schygulla, J.
  
• A local discontinuous Galerkin approximation for systems with p-structure, IMA J. Num. Anal. (2013)
  Diening, L., Kröner, D., Růžička, M. and Toulopoulos, I.
  
• A new conformal invariant on 3-dimensional manifolds, Adv. Math. 249 (2013), 131–160
  Ge, Y. and Wang, G.
  
• A relaxed partioning disk for strictly convex domains, PhD thesis (2013)
  Ludwig, A.
  
• Area growth and rigidity of of surfaces without conjugate points, J. Differential Geom. 94 (2013), 367–385
  Bangert, V. and Emmerich, P.
  
• Dissipative continuous Euler flows, Inventiones Mathematicae 193 (2013), no. 2, 377–407
  De Lellis, C. and Székelyhidi, L., Jr.
  
• Estimation of the conformal factor under bounded Willmore energy, Mathematische Zeitschrift, 274 (2013), 1341–1383
  Schätzle, R. M.
  
• Effective Hamiltonians for constrained quantum systems, Memoirs of the AMS 1083, 99 pages, 2013
  Teufel, S., Wachsmuth, J.
  
• Finite element methods for surface PDEs, Acta Numerica 22 (2013), 289–396
  Dziuk, G., Elliott, C. M.
  
• Flows of constant mean curvature tori in the 3-sphere: the equivariant case, J. Reine Angew. Math. (2013)
  Kilian, M., Schmidt, M. and Schmitt, N.
  
• Homology of finite K-area, Math. Z. 275 (2013), no. 1-2, 91–107
  Listing, M.
  
• Hyperbolic Alexandrov-Fenchel quermassintegral inequalities. J. Differential Geom.
  Ge Yuxin, Wang, G. and Wu, Jie
  
• Isoparametric finite element approximation of Ricci curvature, IMA J. Numer. Anal. 33 (2013), no. 4, 1265–1290
  Fritz, H.
  
• Minimizers of the Willmore functional under fixed conformal class, J. Differential Geom. 93 (2013), 471–530
  Kuwert, E. and Schätzle, R.
  
• On problems related to an inequality of Andrews, De Lellis and Topping, IMRN, Int. Math. Res. Notices (2013) Vol. 2013, 4798–4818
  Ge, Y., Wang, G. and Xia, C.
  
• Scalar conservation laws on moving hypersurfaces, Interfaces Free Bound. 15 (2013), 203–236
  Dziuk, G., Kröner, D., Müller, T.
  
• Semiclassical approximations for Hamiltonians with operator-valued symbols, Commun. Math. Phys. 320 (2013), 821–849
  Stiepan, H., Teufel, S.
  
• The existence of embedded minimal hypersurfaces, Jour. Differential Geom. 95 (2013), no. 3, 355–388
  De Lellis, C. and Tasnady, D.
  
• Willmore-type regularization of mean curvature flow in the presence of a non-convex anisotropy. The graph setting: analysis of the stationary case and numerics for the evolution problem, Adv. Differential Equations 18 (2013), no. 3-4, 265–308
  Pozzi, P. and Reiter, Ph.
  
• Energy quantization for Willmore surfaces and applications, Annals of Math. 180
  Bernard, Y., and Rivière, T.
  
• Existence of immersed spheres minimizing curvature functionals in compact 3-manifolds, Mathematische Annalen (2014)
  Kuwert, E., Mondino, A. and Schygulla, J.
  
• New examples of conformally constrained Willmore minimizers of explicit type (2014), Adv. Calc. Var.
  Ndiaye, C. B., Schätzle, R. M.
  
• Smoothing singularities of Riemannian metrics while preserving lower curvature bounds, PhD thesis (2014)
  Schlichting, A.
  
• Trapped Reeb orbits do not imply periodic ones, Inventiones mathematicae (2014)
  Geiges, H., Röttgen N. and Zehmisch, K.
  
• Weak solutions for an incompressible Newtonian fluid interacting with a Koiter type shell, Arch. Rat. Mech. Anal. 211 (2014), 205–255
  Lengeler, D., Růžička, M.