Symmetrie und Arithmetik komplexer algebraischer Varietäten kleiner Dimension
Final Report Abstract
Aus Arbeiten von Bernhard Riemann (1852) weiß man, dass die für die Funktionentheorie bedeutsamen kompakten Riemann‘schen Flächen durch Polynomgleichungen beschrieben werden können. Die Mathematik ist jedoch nur selten in der Lage, diese Gleichungen aus der konformen Struktur der Flächen abzuleiten, also aus ihrer geometrischen Gestalt. 1980 hat der russische Mathematiker Belyi hierzu einen großen Fortschritt erzielt: Er bewies, dass die Polynomgleichungen als Koeffizienten nur algebraische Zahlen besitzen – also Zahlen von vergleichsweise einfacher Bauart, wenn die Geometrie der Flächen durch Triangulierungen, d.h. Dreiecksnetze auf den Flächen charakterisiert werden kann. Das vorgestellte Forschungsprojekt hat sich mit der Frage beschäftigt, wie man aus Symmetrieeigenschaften dieser Dreiecksnetze Rückschlüsse ziehen kann auf den Typ jener algebraischen Zahlen, die in den Polynomgleichungen vorkommen können. Wie kaum anders zu erwarten, erhält man die vollständigsten Resultate bei maximaler Symmetrie und nicht allzu komplizierter Gestalt der Fläche, genauer: Wenn das Geschlecht der Fläche ≤ 18 ist (das Geschlecht ist die Anzahl der Henkel, die man an eine Kugel ankleben muss, um die Fläche zu erzeugen), genügen fast immer ganze Zahlen als Koeffizienten oder Zahlen quadratischer Zahlkörper, die man aus ganzen Zahlen durch Ziehen von Quadratwurzeln gewinnen kann. Im Zuge der Untersuchung dieser Flächen, welche in Verallgemeinerung der hochsymmetrischen platonischen Körper (Tetraeder, Würfel, Oktaeder, Dodekaeder, Ikosaeder) quasiplatonische Flächen genannt werden, habe ich zusammen mit zwei spanischen Kollegen eine Klasse von Flächen entdeckt, welche neben ihren Dreiecksnetzen maximaler Symmetrie noch Dreiecksnetze gleichen Typs, aber sehr viel geringerer Symmetrie besitzen. Im Zuge des hier abgeschlossenen Projekts haben wir versucht, auch für diese Dreiecksnetze die zugehörigen Koeffizientenkörper zu bestimmen. Das Resultat ist deutlich weniger vollständig als für die quasiplatonischen Flächen selbst; immerhin liefert es in Thm. 1 und Cor. 1 einen schönen und plausiblen Zusammenhang zwischen der arithmetischen Natur der beteiligten Symmetriegruppen und den gesuchten Koeffizientenkörpern.
Publications
- Modul- und Definitionskörper von Belyikurven
B. Mühlbauer, J. Wolfart
- 'Wilson's map operations on regular dessins and cyclotomic fields of definition', Proc. London Math. Soc. 100 (2010), 510-532
G.A. Jones, M. Streit, J. Wolfart
- 'Shimura curves with many uniform dessins'.
Mathematische Zeitschrift Vol. 271.2012, Issue 3-4, pp. 757-779.
E. Girondo, D. Torres, J. Wolfart
(See online at https://doi.org/10.1007/s00209-011-0889-4) - 'Galois actions on regular dessins of small genera', Revista Matemática Iberoamericana, Vol. 29.2013, Issue 1, pp. 163-181.
M.D.E. Conder, G.A. Jones, M. Streit, J. Wolfart
