Entropiebeschränkte Quantisierung von Wahrscheinlichkeiten

• Applicant: Dr. Wolfgang Kreitmeier
• Subject Area: Mathematics
• Term: from 2008 to 2011
• Project identifier: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Project number 65635782

• Final Report Year: 2012

Final Report Abstract

Wesentliches Projektziel war es, optimale Quantisierung unter Beschränkung der vom Quantisierer induzierten Rényi-α-Entropie zu analysieren und zu verstehen. Zu den meisten der zu Projektbeginn als bedeutend eingestuften Forschungsaspekten konnten weitreichende Ergebnisse erzielt werden. Neben der vollständigen analytischen Lösung des Problems bei der eindimensionalen Gleichverteilung, gelang die Bestimmung scharfer Fehlerasymptotiken bei einer großen Klasse eindimensionaler Verteilungen, welche absolutstetig zum Lebesguemaß sind. In höheren Dimensionen gelang es für eine ebenfalls große Klasse von Verteilungen asymptotische Fehlerschranken zu ermitteln, woraus die Quantisierungsdimension vollständig bestimmt werden konnte. Als wesentlich und stark projektbeeinflussend erwies sich die unerwartete Erkenntnis, dass ab einem - ebenfalls exakt bestimmten - Schwellenwert für den Entropieparameter α, keine Quantisierung nach herkömmlichem Verständnis mehr vorliegt. Vielmehr läuft Quantisierung in diesem superkritischen Bereich so ab, dass der gesamte Fehler durch ein Kugelmoment dargestellt wird. Abschließend konnte die bereits aus dem Fall α = 0 bekannte Darstellung des optimalen Quantisierungsfehlers als Wassersteinabstand stark verallgemeinert werden. Dazu waren Rückgriffe auf tiefliegende Resultate aus der Theorie optimalen Massentransports erforderlich.

Publications

• Error bounds for high-resolution quantization with Rényi-α -entropy constraints, Acta Math. Hung. 127, 34-51 (2010)
  Kreitmeier, W.
  
• Optimal Quantization for the one-dimensional uniform distribution with Rényi-α -entropy constraints, Kybernetika 46, 96-113 (2010)
  W. Kreitmeier
  
• High-resolution scalar quantization with Rényi entropy constraint, IEEE Trans. Inform. Theory 57, 6837 - 6859 (2011)
  Kreitmeier, Wolfgang & Linder, Tamás
  
• Optimal vector quantization in terms of Wasserstein distance, J. Multivariate Anal. 102, 1225-1239 (2011)
  Kreitmeier, Wolfgang