Optionspreisbewertung unter Transaktionskosten mit Hilfe eines Numeraireansatzes

• Antragsteller: Professor Dr. Jörn Saß
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2008 bis 2010
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 69690381

• Erstellungsjahr: 2010

Zusammenfassung der Projektergebnisse

Eine der wesentlichen Aufgaben der Finanzmathematik ist die Bereitstellung der Theorie und Methoden zur Bewertung von Finanzderivaten (Contingent Claims), deren Auszahlung vom Infomationsverlauf des Marktes abhängt, wie zum Beispiel einer Call-Option auf eine Aktie. In einem Marktmodell ohne Arbitragemoglichkeiten (risikolose Gewinnmöglichkeiten) existieren konsistente Preissysteme, die jedem Finanzderivat (Claim) einen Preis zuweisen, der zu keinen neuen Arbitragemöglichkeiten führt. Ohne Transaktionskosten entspricht jedem dieser Preissysteme ein Wahrscheinlichkeitsmaß (Martingalmaß), unter dem die Preise durch Erwartungswertwertbildung bestimmt werden können. In der Regel gibt es ein Intervall möglicher Preise, von denen einer auf Basis der Nutzenfunktion des Investors ausgewählt werden kann. Liefert das Inverse des optimalen Portfolios fur logarithmischen Nutzen eine Dichte eines solchen Maßes, so kann der Maßwechsel durch Division des Claims mit dem optimalen Portfolio (Numeraireportfolio) ersetzt werden. Ähnlich gibt es keinen eindeutigen Preis bei der Einführung von Transaktionskosten, selbst wenn der Claim repliziert werden kann. Es gibt eine Theorie konsistenter Preissysteme, aber bisher kaum konstruktive Ansatze, solch ein Preissystem zu bestimmen. In dem Projekt konnte geklärt werden, wie ein Numeraireportfolio unter Transaktionskosten eingeführt werden kann, so dass es zu einem konsistenten Preissystem korrespondiert. Die Nachweis mit Methoden aus der Theorie der dynamischen Programmierung erlaubt, solch ein Preissystem numerisch zu bestimmen. Konkret muss zuerst das optimale Portfolio unter logarithmischen Nutzen bestimmt. Basierend auf diesem kann der Preis eines jeden Claims dann durch einfache Erwartungswertbildung numerisch berechnet werden. Weitere Preissysteme basierend auf sogenannten Power-Nutzenfunktionen, die eine Spezifizierung der Risikoaversion des Investors erlauben, können analog behandelt werden. Daruber hinaus motivieren diese Ergebnisse die Untersuchung der Existenz konsistenter Preissystem unter allgemeinen Bedingungen. Diese hat zu einem neuen, nutzenbasierten Beweis des sogenannten ersten Fundamentalsatzes der Preistheorie unter Transaktionskosten in einem zeitdiskreten Marktmodell mit zwei Finanzgütern gefuhrt. Dieser Fundamentalsatz zeigt unter geeigneten No-Arbitrage-Bedingungen die Existenz eines konsistenten Preissystems. Auch wenn es sich bei diesem Beweis “nur” um einen neuen Beweis eines bekannten Theorems handelt, ist er – abgesehen von der mathematischen Bedeutung – auch aufgrund der zentralen Stellung des Theorems praktisch bedeutend, da er Rückschlüsse auf die mögliche Struktur konsistenter Preissysteme zulässt. Weitere Untersuchungen zur Abschwächung der Bedingungen, zu allgemeineren Kostenstrukturen, höherer Dimension und stetiger Zeit sind geplant.

Projektbezogene Publikationen (Auswahl)

• The numeraire portfolio under transaction costs, Research Seminar “Stochastic Analysis and Stochastics of Financial Markets”, Humboldt Universität und TU Berlin, November 6, 2008
  J. Sass
  
• The numeraire portfolio under transaction costs, 7. Workshop “Stochastische Modelle und Steuerung”, March 16–19, 2009, Wittenberg
  J. Sass
  
• Maximizing the asymptotic growth rate for fixed and proportional transaction costs in a financial market with jumps, 9th German Open Conference on Probability and Statistics (GOCPS), March 2–5, 2010, Leipzig
  A. Kochendörfer, J. Sass
  
• The numeraire portfolio under proportional transaction costs, 6th World Congress of the Bachelier Finance Society, June 22–26, 2010, Toronto, Canada
  J. Sass
  
• The numeraire portfolio under transaction costs, 9th GOCPS, March 2–5, 2010, Leipzig, German
  J. Sass
  
• Trading regions for portfolio optimization under transaction costs, School of Mathematical Sciences, Dublin City University, Ireland, May 7, 2010
  J. Sass
  
• Utility-based proof for consistent price systems under transaction costs, 9th GOCPS, March 2–5, 2010, Leipzig
  M. Smaga