Albanese-Schema und Klassenkörper-Theorie
Final Report Abstract
In diesem Projekt wurden Verallgemeinerte Albanese-Varietäten über einem perfekten Grundkörper in funktorieller Weise konstruiert auf der Grundlage von Dualitäts-Theorie. Zu diesem Zweck wurde eine Kategorie definiert, in der glatte zusammenhängende kommutative algebraische Gruppen dualisiert werden können, die Kategorie der sog. 1-Motive mit unipotentem Anteil. Diese 1-Motive erlauben auch Torsion. Die Anwendungsmöglichkeiten dieser 1-Motive mit unipotentem Anteil sind nicht auf Albanese-Theorie beschränkt: 1-Motive und deren Verallgemeinerungen sind z.B. im Zusammenhang mit dem Motiv-Programm von grossem Interesse, sie fungieren dort sozusagen als Testkategorie. Ein weiteres technisches Hilfsmittel ist der Modulus einer rationalen Abbildung von einer normalen algebraischen Varietät X über einem perfekten Körper k in eine kommutative algebraische Gruppe. Diesen haben Kazuya Kato und ich in einem gemeinsamen Artikel definiert und dessen Eigenschaften untersucht. Für den Fall dass X eine Kurve ist, existierte eine klassische Definition des Modulus von Serre. Unsere Definition lässt beliebige Dimension von X zu und stimmt im Kurvenfall mit Serre’s klassischer Definition überein. Mit Hilfe dieser beiden Werkzeuge konnte ich nun verallgemeinerte Albanese-Varietäten mit Modulus von glatten eigentlichen Varietäten X über perfektem Grundkörper k einführen. Diese setzen die Theorie der verallgemeinerten Jacobischen mit Modulus von Rosenlicht-Serre, die seit langer Zeit in der algebraischen und arithmetischen Geometrie etabliert ist, für höhere Dimension von X fort. Die Konstruktion dieser Albanese- Varietäten mit Modulus ist explizit, daher erwarte ich einen hohen Gebrauchswert für diverse Anwendungen, z.B. in der Theorie der algebraischen Gruppen, Verzweigungstheorie und Klassenkörper-Theorie. Eine explizite Beschreibung der Klassenkörper-Theorie von Funktionenkörpern von Varietäten über endlichem Grundkörper wird bereits vorgeführt. Für den Fall k = C geben Kazuya Kato und ich eine Hodge-theoretische Beschreibung der Albanese mit Modulus. In einem weiteren Paper benutzen Kazuya Kato, Takashi Suzuki und ich die Albanese mit Modulus für eine Beschreibung einer Art “geometrischer Klassenkörper-Theorie von D-Moduln von Rank 1 mit Irregularität auf X”. Eine weitere Arbeit schließlich enthält eine funktorielle Beschreibung des universellen regulären Quotienten An(X) von CH0(X, Xsing)0 für singuläre projektive Varietäten X über perfektem Grundkörper k.
Publications
- Generalized Albanese and its dual, J. of Math. of Kyoto Univ. 48, No. 4 (2008), 907–949
H. Russell
- Albanese varieties with modulus and Hodge theory (2009)
K. Kato, H. Russell
- Albanese varieties with modulus over a perfect field (2010)
H. Russell
- Modulus of a rational map into a commutative algebraic group, Kyoto Journal of Mathematics, Vol. 50, No. 3 (2010), 607–622
K. Kato, H. Russell
- Albanese varieties of singular varieties over a perfect field (2011)
H. Russell
