Uniformly Gamma-equivalent theories for discrete-to-continuum limits

• Applicant: Professorin Dr. Anja Schlömerkemper
• Subject Area: Mathematics
• Term: from 2008 to 2016
• Project identifier: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Project number 77513877

Ein Interesse in den Ingenieurwissenschaften gilt immer kleineren Bauteilen. Die für die Beschreibung der physikalischen Eigenschaften herangezogenen klassischen Kontinuumstheorien kommen dabei an die Grenze ihrer Anwendbarkeit, während rein atomistische Modelle noch zu detailliert sind. Ziel des beantragten Projektes ist es, physikalische Eigenschaften solch kleiner Bauteile mittels Energiefunktionalen zu modellieren und die erhaltenen Modelle sowie deren Energieminimierer mathematisch zu analysieren. Ausgehend von einem Energiefunktional in einem diskreten System leiten wir dazu eine adäquate Kontinuumstheorie her, die einen Parameter der mikroskopischen Skala (wie z. B. den Abstand zwischen zwei Atomen) beibehält. Bei Anwendung konventioneller Methoden für den Übergang von diskreten zu kontinuierlichen Modellen, wie z. B. der (-Konvergenz, gehen die Parameter der mikroskopischen Skala verloren. Wir werden daher neuartige Methoden, die kürzlich von Braides und Truskinovsky [18] vorgestellt wurden, anwenden und weiter entwickeln. Die resultierenden Energiefunktionale werden asymptotische Entwicklungen der ursprünglichen Energie in einem Parameter der mikroskopischen Skala sein; zudem werden sie sich in einem gewissen Sinn gleichmäßig bzgl. eines zusätzlichen Parameters (wie z. B. der makroskopischen Verschiebung des Materials) verhalten. Diese Energiefunktionale werden gleichmäßig (-äquivalente Theorien genannt. Nach deren Herleitung werden wir sie mathematisch analysieren und die zugehörigen lokalen Minimierer charakterisieren. Zunächst werden wir gleichmäßig (-äquivalente Theorien für die Bruchmechanik und für Materialen mit Defekten, die zum Bruch führen, herleiten. Anschließend werden wir die entwickelten Methoden auch auf andere Gebiete der Kontinuumsmechanik und des Magnetismus anwenden.

• DFG Programme: Research Grants