Automorphe Formen höherer Ordnung
Final Report Abstract
Von den im Antrag formulierten drei Hauptzielen sind zweieinhalb erreicht worden. Zwei weitere sind in der Projektlaufzeit hinzugekommen und ebenfalls erreicht worden. Das erste Ziel, die Spektralzerlegung höherer Formen wurde in zwei Schritte zerlegt. Die Spektraltheorie der Aktion der reellen Gruppe gestaltet sich signifikant anders als die der Aktion der endlich-adelwertigen Punkte. Dies steht in einem überraschenden Kontrast zur klassischen Situation der Formen von Ordnung eins. In beiden Fällen ist die Spektraltheorie weitgehend verstanden. Im adelischen Fall sind die sukzessiven Quotienten Tensorprodukte automorpher Darstellungen, im reellen Fall sind sie selbst automorphe Darstellungen. Das zweite formulierte Ziel hat sich als einfacher erausgestellt als erwartet, da die antizipierten Probleme bei Gruppen höheren Ranges nicht auftreten, da Gruppen höheren Ranges keine Formen höherer Ordnung besitzen. Eine Verbindung zu Galois-Darstellungen konnte nicht gefunden, werden, aber eine interessante Verbindung zu multiplen Dirichlet-Reihen (MDS) wurde entdeckt, da sich die Mellin-Transformierte einer höheren Eisenstein-Reihe als eine MDS erweist. Eine von verschiedenen Autoren sporadisch in Spezialfällen gesehene Verbindung zu iterierten Integralen konnte in einer gemeinsamen Arbeit mit dem Post-Doc Ivan Horozov finalisiert werden. Danach sind alle höheren Invarianten, also auch alle höheren Formen im Wesentlichen als iterierte Integrale darstellbar. Die Lewis-Zagier-Korrespondenz konnte auf Formen höherer Ordnung ausgedehnt werden. Hierbei wurde ein interessantes Werkzeug benutzt: Man kann höhere Formen auch als Schnitte in einem homogenen Vektorbündel verstehen, das durch eine unipotente Darstellung induziert wird.
Publications
- A new multiple Dirichlet series induced by a higher-order form. Acta Arith. 142 (2010), no. 4, 303-309
Anton Deitmar and Nikolaos Diamantis
(See online at https://doi.org/10.4064/aa142-4-1) - Higher order invariants in the case of compact quotients. Cent. Eur. J. Math. 9 (2011), no. 1, 85-101
Anton Deitmar
(See online at https://doi.org/10.2478/s11533-010-0081-9) - Lewis-Zagier correspondence for higher-order forms, Pacific J. Math. 249 (2011), no. 1, 11-21
Anton Deitmar
(See online at https://dx.doi.org/10.2140/pjm.2011.249.11)
