Oszillations- und Spektraltheorie von Differenzial- und Differenzengleichungssystemen
Final Report Abstract
Das Hauptziel dieses Projektes war die Untersuchung der qualitativen Eigenschaften der Lösungen linearer Hamiltonscher Differenzialgleichungssysteme und symplektischer Differenzengleichungssysteme, insbesondere die kontinuierliche und diskrete Theorie zugehöriger Eigenwertprobleme sowie deren Anwendung auf den Spezialfall Sturm-Liouvillescher Eigenwertprobleme. Lineare Hamiltonsche Differentialgleichungssysteme wurden mit zugehörigen Eigenwertproblemen betrachtet. Aufbauend auf der bereits bekannten Theorie, in der die Kontrollierbarkeit von (A, B) und die Starke Beobachtbarkeit von (A, B, W) vorausgesetzt wird, wird Spektraltheorie, genauer der Oszillationssatz, das Rayleigh-Prinzip und daraus abgeleitet der Entwicklungssatz, ohne diese Voraussetzungen bewiesen. Der Zentralteil dieser Theorie war dabei die Entwicklung einer geeigneten Begriffsbildung. In der zweiten zentralen Arbeit wird die analoge Theorie (Oszillationssatz, Rayleigh-Prinzip und Entwicklungssatz) für diskrete symplektische Differenzengleichungssysteme entwickelt. Schließlich wurde ein Algorithmus (superfast) zur Berechnung des Spektrums von Eigenwertproblemen für diskrete Sturm-Liouvillesche Differenzengleichungen vorgestellt, ohne numerische Anwendungen wie ursprünglich geplant. Die Spektraltheorie für stetige Sturm-Liouvillesche Eigenwertprobleme mit matrixwertigen Koeffizienten wird im Rahmen einer Dissertation, die noch nicht abgeschlossen ist, entwickelt.
Publications
- Banded matrices and discrete Sturm-Liouville eigenvalue problems, Adv. Difference Equ. 2009, 1-18 (2009)
W. Kratz
- A remark on focal points of recessive solutions of discrete symplectic systems, J. Math. Anal. Appl. 363, 209-213 (2010)
O. Došly and W. Kratz
- Oscillation and spectral theory for symplectic difference systems with separated boundary conditions, J. Difference Equ. Appl. 16, 831-846(2010)
O. Došly and W. Kratz
- Eigenvalue and oscillation theorems for time scale symplectic systems, Int. J. Dyn. Syst. Differ. Equ. 3, 84-131 (2011)
W. Kratz, R. Šimon Hilscher and V. Zeidan
- Oscillation and spectral theory for linear Hamiltonian systems with nonlinear dependence on the spectral parameter, Math. Nachr. 285,1343-1356 (2012)
M. Bohner, W. Kratz and R. Šimon Hilscher
(See online at https://doi.org/10.1002/mana.201100172) - Rayleigh principle for linear Hamiltonian systems without controllability, ESAIM Control Optim. Calc. Var. 18, 501-519 (2012)
W. Kratz and R. Šimon Hilscher
(See online at https://doi.org/10.1051/cocv/2011104)
