Wavelets and function spaces on domains

• Applicant: Professorin Dr. Dorothee Haroske
• Subject Area: Mathematics
• Term: from 2008 to 2013
• Project identifier: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Project number 93878115

• Final Report Year: 2014

Final Report Abstract

Unsere Erwartungshaltung, dass sich zunehmend (sub-)atomare und Wavelet-Zerlegungstechniken als wesentlich bei der Beschreibung komplizierter Funktionenräume, der Darstellung von Eigenschaften und auch im Blick auf Anwendungen (vor allem zur Lösung partieller Differentialgleichungen) erweisen, hat sich in den letzten Jahren als richtig herausgestellt. Eine Vielzahl von Arbeiten beschäftigt sich vor allem oder ausschließlich mit der Konstruktion und Darstellung geeigneter Basen weitreichender Skalen von Funktionenräumen. Das Thema hat sich verstärkt in eine etwas andere Richtung entwickelt, als gedacht. Da die - auch in diesem Projekt skizzierte - Entwicklung der Theorie vor allem als Vorlauf und Basis für Anwendungen interessant ist, wäre es aus unserer Sicht wenig zu rechtfertigen gewesen, gerade die enge Verbindung zu den Anwendern, die sich mit der intensiven Erforschung der Funktionenräume variabler Glattheit und Integrabilität bietet, unserem ursprünglichen Konzept unterzuordnen. Unabhängig davon haben alle drei Antragsteller weiter an den ursprünglichen Themen geforscht. Die vorhandenen Methoden werden beständig weiterentwickelt und angepasst, das (bisher praktizierte) Schema auf seine Tragfähigkeit und Gültigkeit in immer allgemeineren Zusammenhängen überprüft, Anwendungen geraten stärker in den Fokus. Wir gehen davon aus, dass in den nächsten Jahren nicht nur weitere Skalen von Funktionenräumen untersucht werden, sondern Aspekte der Anwendungen und spezieller Modelle wesentlich werden. Nach wie vor sehr viele offene Fragen gibt es zum Zusammenhang von der Qualität der zugrunde liegenden Gebiete (der Modelle bzw. Funktionenräume) mit den “passenden” Wavelets.

Publications

• Bases in function spaces, sampling, discrepancy, numerical integration. EMS Tracts in Mathematics (ETM). European Mathematical Society (EMS), Zürich, 2010
  H. Triebel
  
• Lorentz spaces with variable exponents. (2012), Preprint
  H. Kempka, J. Vybıral
  (See online at https://doi.org/10.1002/mana.201200278)
• Spaces of variable smoothness and integrability: Characterizations by local means and ball means of differences, J. Fourier Anal. Appl., 18(4), 852-891, 2012
  H. Kempka, J. Vybıral
  (See online at https://doi.org/10.1007/s00041-012-9224-7)
• Traces of vector-valued Sobolev Spaces. Math. Nachr., 285(8-9), 1082-1106, 2012
  B. Scharf, H.-J. Schmeisser, W. Sickel
  
• A note on the spaces of variable integrability and summability of Almeida and Hästö, Proc. AMS, 141, 3207-3212, 2013
  H. Kempka, J. Vybıral
  (See online at https://doi.org/10.1090/S0002-9939-2013-11605-9)
• Embeddings of Besov-Morrey spaces on bounded domains. Studia Math., 218:119–144, 2013
  D.D. Haroske and L. Skrzypczak
  (See online at https://doi.org/10.4064/sm218-2-2)