Theorie stehender und auslaufender Wellen für nichtlineare Helmholtzgleichungen

• Antragsteller: Professor Dr. Tobias Weth
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2014 bis 2019
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 263284198

Die Wellenausbreitung in nichtlinearen Medien hat sich in jüngster Zeit zu einem hochaktuellen und faszinierenden Forschungsgebiet innerhalb der nichtlinearen Analysis und der Theorie partieller Differentialgleichungen entwickelt. Das Auftreten von stehenden Wellen, Dispersion und Wellenstreuung ist im Rahmen linearer Gleichungen bereits weitreichend erforscht, während sich in nichtlinearen Modellen eine Vielzahl offener Fragen ergeben. Das Projekt ist der Untersuchung zeitperiodischer Lösungen der nichtlinearen Klein-Gordon-Gleichung gewidmet, welche stehende oder in Folge eines Streuprozesses auslaufende Wellen mit hoher Schwingungsfrequenz repräsentieren. Der zeitperiodische Lösungsansatz führt auf die nichtlineare Helmholtzgleichung, welche auch in anderen aktuellen Problemstellungen im gemeinsamen Einflussbereich wesentlicher Operatorspektra und nichtlinearer Effekte auftaucht. Der vorliegende Antrag baut auf die Fortschritte der ersten Förderperiode auf, in der im Falle nichtkritisch wachsender Nichtlinearitäten mittels dualer variationeller und topologischer Fixpunktmethoden stehende Wellenlösungen gefunden und Lösungskontinua konstruiert wurden. Das Ziel des Antrags ist die umfassende Analyse des Einflusses kritischer Exponenten, der qualitativen Eigenschaften dualer Grundzustände, des Auftretens von Konzentrationsphänomenen, der Fortsetzung von Lösungszweigen und der Gestalt von Streuwellen im Rahmen einer stationären Theorie.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen