Nichtglatte Variationsmodelle mit Regularisierungstermen mit Differenzen zweiter Ordnung und lokalen Anisotropien zur Restauration zyklischer- und mannigfaltigkeitswertiger Bilder

• Antragsteller: Professor Dr. Ronny Bergmann; Professor Dr. Andreas Weinmann
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2015 bis 2019
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 288750882

In den letzten Jahren wurden Variationsmethoden sehr erfolgreich in der digitalen Bildverarbeitung eingesetzt. Viele der Methoden basieren auf der Minimierung nichtglatter, konvexer Funktionale bestehend aus einem Daten- und einem Regularisierungsterm. Insbesondere die Verwendung von ersten und zweiten Ableitungen sowie von lokalen Anisotropien im Regularisierungterm haben zu sehr guten Ergebnissen bei der Bildrestauration geführt. Splitting-Algorithmen im Zusammenhang mit primal-dualen Optimierungsverfahren gehören derzeit zu den meistverwendeten Techniken zur Minimierung der entsprechenden Funktionale. Die Stärke dieser Verfahren besteht in der Zerlegung des eigentlichen Problems in Teilprobleme, die durch einfach berechenbare proximale Abbildungen gegeben sind.Bei verschiedenen Anwendungen treten in der Bildverarbeitung allerdings Funktionen (Bilder) auf, deren Werte nicht in reellwertig, sondern auf dem Kreis oder in anderen Mannigfaltigkeiten liegen. Bisher gibt es nur wenige Arbeiten, welche die neueren, im reellen erfolgreichen Variationsmethoden auf mannigfaltigkeitswertige Bilder übertragen. Dies liefert Potential für zukünftige Forschung.In unserem Projekt möchten wir konvexe Modelle zur Restauration reellwertiger Bilder auf zyklische und mannigfaltigkeitwertige Daten verallgemeinern. Der Focus wird dabei auf symmetrischen Räumen liegen, die in der Bildverarbeitung eine Rolle spielen. Auf Hadamard-Mannigfaltigkeiten sind die Funktionale konvex, was für allgemeine Mannigfaltigkeiten wie Kugeln nicht mehr der Fall ist. Die Besonderheit unserer Modelle besteht in der Kopplung von ersten und zweiten Differenzen bzw. der Verwendung lokaler Richtungsinformation im Regularisierungsterm. Zu den Herausforderungen des Projektes gehören die Konstruktion der Restaurationsmodelle für mannigfaltigkeitswertige Bilder und Signale, die mathematische Analyse der Modelle und die Erstellung effizienter Minimierungsalgorithmen einschließlich entsprechender Konvergenzbeweise.In der Bildverarbeitung gibt es ein großes Potential für Anwendungen der im Projekt zu erstellenden Methoden. Unter anderem werden wir unsere Methoden zur Analyse Elektroencephalographischer Daten und in der Electron Backscattered Diffraction einsetzen. Ein frei verfügbares Softwarepacket ist ebenfalls geplant.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen