Optimalsteuerungsprobleme mit zwei Entscheidungsebenen: Theorie, Algorithmen und Anwendungen

• Antragsteller: Professor Dr. Stephan Dempe; Professor Dr. Gerd Wachsmuth
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2016 bis 2023
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 313963978

Hierarchische Optimierungsaufgaben mit zwei Entscheidungsebenen werden Zwei-Ebenen-Optimalsteuerprobleme (BOCPs) genannt, falls mindestens einer der Entscheidungsträger ein Optimalsteuerproblem lösen muss. Modelle dieser Form leiten sich von Anwendungsproblemen aus der Preisbildung auf Energiemärkten, der Parameteridentifikation in gesteuerten Prozessen oder der Datenkompression ab. BOCPs sind nichtglatte, unendlich-dimensionale, regularitätsschwache Optimierungsaufgaben mit impliziten Nebenbedingungen und bilden somit eine schwierige Problemklasse.In diesem Fortsetzungsprojekt wollen wir unsere Untersuchungen von BOCPs über partiellen Differentialgleichungen im Hinblick auf Optimalitätsbedingungen und mögliche Lösungsalgorithmen vertiefen. Dazu nutzen wir zwei verschiedene Transformationen des hierarchischen Modells in eine Aufgabe mit nur einer Entscheidungsebene: die Optimalwerttransformation, welche sich der Optimalwertfunktion des parametrischen Optimierungsproblems in der unteren Entscheidungsebene bedient, und die Karush-Kuhn-Tucker- (KKT-) Transformation, welche die untere Ebene durch Optimalitätsbedingungen erster Ordnung ersetzt.Das Ausnutzen geeigneter Abschätzungen der Optimalwertfunktion nach oben erlaubt die Konstruktion von Algorithmen, die iterativ den zulässigen Bereich relaxierter Ersatzprobleme der Optimalwerttransformation verfeinern. In der ersten Phase des SPPs haben wir einen solchen Lösungsalgorithmus für BOCPs mit vollständig konvexen Daten hergeleitet. Hierfür war die resultierende Konvexität der Optimalwertfunktion essentiell. Nun wollen wir den Fall betrachten, in dem diese Funktion konkav ist. Dies ist im Hinblick auf die Betrachtung von Parameteridentifikationsproblemen relevant. Außerdem soll untersucht werden, unter welchen Voraussetzungen die durch unsere Algorithmen, welche praktisch nur nach Diskretisierung anwendbar sind, bestimmten Lösungen gegen tatsächliche Lösungen im Funktionenraum konvergieren.Besitzt die untere Entscheidungsebene (verallgemeinerte) Ungleichungsnebenbedingungen, so ergibt sich als KKT-Transformation eine Optimierungsaufgabe mit Komplementaritätsnebenbedingungen (MPCC) in Funktionenräumen. Um das Verständnis für derartige Probleme zu verbessern, wollen wir anwendbare punktweise Stationaritätskonzepte und Regularitätsbedingungen sowie Optimalitätsbedingungen zweiter Ordnung herleiten. Für die numerische Lösung derartiger MPCCs soll eine Aktive-Mengen-Strategie entwickelt werden.Zuletzt wollen wir die erhaltenen Ergebnisse nutzen, um Optimalitätsbedingungen sowie Lösungsalgorithmen für zwei Klassen von Anwendungsprobleme abzuleiten: Parameteridentifikationsprobleme und Datenkompressionsprobleme, die wir über Maß-wertige Variablen definieren. Eine entsprechende Klasse von Referenzproblemen zum Vergleich der erhaltenen theoretischen Resultate und numerischen Verfahren soll erstellt werden.

• DFG-Verfahren: Schwerpunktprogramme
• Teilprojekt zu: SPP 1962: Nichtglatte Systeme und Komplementaritätsprobleme mit verteilten Parametern: Simulation und mehrstufige Optimierung
• Mitverantwortliche: Professor Dr. Patrick Mehlitz, Ph.D.; Privatdozent Dr. Uwe Prüfert