Spektral Theorie von Differential Operatoren mit komplexen Koeffizienten

• Antragsteller: Professor Dr. Horst Behncke
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung in 2017
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 363792895

Der Erfolg von Weyls Theorie sowie auch physikalische Probleme ließen bald die Notwendigkeit aufkommen, diese Theorie zu erweitern. Die Richtungen waren Operatoren höherer Ordnung, spektrale Operatoren sowie Sturm-Lionville Operartoren mit komplexen Koeffizienten. Das Hauptproblem bei spektralen Operatoren ist, ihn als solchen zu erkennen.Die Theorie hat sich daher kaum weiter entwickelt als Operatoren mit konstanten Koeffizienten und Störungen davon mit schnell abfallenden Koeffizienten. Die Sturm-LiouvilleOperatoren mit komplexen Koeffizienten hatten gerade diese Eigenschaften. Sie wurden von russischen Mathematikern um Neumark, Sims und einigen anderen untersucht. Hier spielten Fourier Analysis und Kontur Integrale eine zentrale Rolle. Die Schwierigkeiten resultieren hauptsächlich von denSingularitäten höherer Ordnungen mit ihren nilpotentenSummanden sowie den Singularitäten im wesentlichen Spektrum. Darüber ist nichts bekannt. Es gibt noch nicht einmal Beispiele dazu. Aus diesem Grunde hat es in den letzten vierzig Jahren keine Fortschritte gegeben. Letztlich ist es das Fehlen des Spektralsatzes, der diese Theorie so unnahbar macht.Wenn aber die Eigenfunktionen in etwa bekannt sind, kann man mehr sagen. Behncke hat in mehreren Arbeiten die Theorie der asymptotischen Integration von Levinson weiterentwickelt und auf spektrale Probleme angewandt. Für selbstadjungierte Probleme ist die m-matrix zusammen mit der asymptotischen Integration das ideale Werkzeug um spektrale Aussagen zu gewinnen. In acht gemeinsamen Arbeiten haben D. B. Hinton und Behncke diese Aspekte untersucht. Das Hauptergebnis sagt dabei, dass Hamilton Systeme deren Koeffizienten gewisse Glattheits- und Abfallbedingungen erfüllen, nur absolut stetiges Spektrum haben, neben den Eigenwerten natürlich. Letztere aber häufen sich höchstens an den doppelten Nullstellen des charakteristischen Polynoms. Symmetrische Hamilton Systeme sind fast so allgemein wie die Operatoren in dem Lecture Notes Band von Weidmann. Im symmetrischen Fall besteht das Spektrum au einer Folge von Internvallen für das die Ränder durch die Diskriminante gegeben sind. Für C-symmetrische Hamilton Systeme ist das essentielle Spektrum meist eine algebraische Kurve.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen
• Internationaler Bezug: USA
• Kooperationspartner: Professor Dr. Don B. Hinton