Ordnungszetafunktionen von Ganzzahlringen und Auflösung von Singularitäten

• Antragstellerinnen / Antragsteller: Professorin Dr. Anne Frühbis-Krüger; Professor Dr. Christopher Voll
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2017 bis 2021
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 373111162

Ziel des Projekts ist das Studium fundamentaler arithmetischer und analytischer Eigenschaften arithmetisch motivierter Zetafunktionen wie den Ordnungszetafunktionen von Ganzzahlringen. Diese sind Dirichletsche Erzeugendenfunktionen, die Ordnungen (Unterringe mit Eins) in Ganzzahlringen von Zahlkörpern enumerieren.Im Gegensatz zur klassischen Theorie der verwandten Dedekindschen Zetafunktionen liegen die grundlegenden analytischen Invarianten dieser Funktionen -- wie etwa Konvergenzabszisse, Polordnungen, spezielle Werte etc. -- noch weitestgehend im Dunkeln. Eine Bhargava zugeschriebene Vermutung hat Implikationen für die Konvergenzabszisse von Ordnungszetafunktionen und damit dem Grad polynomiellen Wachstums der Ordnungen in Ganzzahlringen von Zahlkörpern. Neuere Arbeiten von Kaplan e.a. liefern Abschätzungen für besagte Invarianten. Explizite Formeln für Ordnungszetafunktionen sind nur für Zahlkörper vom Grad kleiner als 5 bekannt.Die in dem Projekt studieren Zetafunktionen lassen sich auf natürliche Weise als Eulersche Produkte lokaler Zetafunktionen schreiben, die allesamt rationale Funktionen sind. Die bekannten expliziten Formeln für Zahlkörper kleinen Grades suggerieren eine Reihe tiefer arithmetischer Regularitäts-, Uniformitäts- sowie Symmetriephänomene, denen wir in dem Projekt auf den Grund gehen möchten.Eine etablierte Methode zum Studium der relevanten Eulerschen Faktoren und ihrer Produkte interpretiert die Faktoren als geeignete p-adische Integrale. Ein Schlüssel zum Verständnis sowohl der globalen Zetafunktionen als auch der arithmetischen Eigenschaften ihrer Eulerschen Faktoren liegt somit in einem uniformen Verständnis besagter Integrale. Ein Hilfsmittel von zentraler Bedeutung sind hierbei Auflösungen von Singularitäten bestimmter assoziierter algebraischer Hyperflächen. Während Hironakas berühmter Satz die Existenz solcher Auflösungen garantiert, kapitulieren bestehende Algorithmen im Allgemeinen rasch vor der Komplexität und Hochdimensionalität der aufzulösenden Hyperflächen. Eine Hauptidee des Forschungsprojekt ist es, die bei Ordnungszetafunktionen auftretenden Symmetrien und rekursiven Strukturen in den assoziierten Hyperflächen auszunutzen, um eine sozusagen massgeschneiderte Auflösung von Singularitäten etwa für Ordnungszetafunktionen von Ganzzahlringen zu generieren.Mit seinen beiden Antragstellern bringt das Projekt eine ausgewiesene Expertin der Theorie und Praxis von Auflösung von Singularitäten zusammen mit einem erfahrenen Spezialisten auf dem Gebiet der Zetafunktionen von Gruppen und Ringen. Die Kombination ihrer beiden Expertisen verspricht signifikante Fortschritte auf einem international aktiv bearbeiteten Gebiet der asymptotischen Ringtheorie.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen