Synthetische Krümmungsschranken durch Methoden des Optimalen Transports

• Antragsteller: Dr. Christian Ketterer
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2017 bis 2020
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 396662902

Projekt A befasst sich mit einer Verallgemeinerung des Konzepts synthetischer unterer Ricci Krümmungsschranken für nicht-glatte metrische Maßräume im Sinne von Lott, Sturm und Villani. Das Ziel is eine neue Krümmungs-Dimensions Bedingung einzuführen welche auch variable Krümmungsschranken einschließt, wobei die Krümmungsfunktion ein Element eines gegebenen L p -Raums bezüglich des Referenzmaßes ist. Zentrale Ziele sind insbesondere Kompaktheits- und Stabilitätssätze für Familien von metrischen Maßräumen bezüglich der maßtheoretischen Gromov-Hausdorff-Topologie, und auch bezüglich Lp-schwacher Konvergenz der Krümmungsfunktionen zu beweisen. Als Konsequenz werden wir Starrheits- und Regularitätssätze beweisen können welche auch neu sind für Familien glatter Riemannscher Mannigfaltigkeiten. Projekt B fürt die Analysis neuer Krümmungsbedingungen im Sinne des Optimalen Transports, welche von Ketterer und Mondino endeckt wurden, fort. Diese Bedingungen charakterisieren untere Schranken für den p-Ricci tensor und die Schnittkrümmung (und in manchen Fällen auch obere Schnittkrümmungsschranken) für Riemannsche Mannigfaltigkeiten durch die Konvexität der relativen Entropie bezüglich des p-dimensionalen Hausdorff-Maßes. p-Ricci Krümmung ist die Spur des Riemannschen Krümmungstensors bzgl. p-dimensionaler Unterräume im Tangentialraum wobei p ein natürliche Zahl zwischen 0 und der Dimension des Raumes ist. Eine sehr natürliche Frage, die sich unmittelbar ergibt, ist, welche Beziehungen zu synthetischen Krümmungsschranken im Sinne von Alexandrov bestehen. Obgleich eine allgemeine Äquivalenz nicht erwartet werden kann, ist der Plan des Projektes die Bedingung von Ketterer und Mondino im Kontext von Alexandrov Räumen zu beweisen.Projekt C studiert kürzlich eingeführten Super-Ricci Fluß und Ricci Fluß Bedingungen für metrische Maßraum-Zeiten. Eines der wichtigsten und schwierigsten Problem der geometrischen Analysis ist die Einführung einer schwachen Formulierung des Ricci Flusses für nicht glatte Anfangsbedingungen. Erste Schritte in dieser Richtung wurden in jüngeren Vorveröffentlichungen von Sturm und Haslhofer/Naber unternommen. Sturm fürt eine zeitabhhängige Variante seiner Entropie-konvexitätsbedingung ein. Haslhofer und Naber erweitern den sogenannten Bakry-Emery Kalkül für Pfadräume. Das Projekt zielt darauf ab Verbindungen zwischen diesen beiden Konzepten, Perelman’s L-length und der Hamilton Harnack Ungleichung zu ziehen.

• DFG-Verfahren: Forschungsstipendien
• Internationaler Bezug: Kanada
• Gastgeber: Professor Dr. Robert Haslhofer; Professor Dr. Vitali Kapovitch