Canonical Heights on Hyperelliptic Jacobians
Zusammenfassung der Projektergebnisse
Das Projekt befasste sich mit einer Fragestellung aus der mathematischen Grundlagenforschung im Bereich zwischen Zahlentheorie und algebraischer Geometrie. Hintergund ist die folgende recht konkret formulierbare Frage: Gegeben ein Polynom f (x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 mit Koeffizienten a0 , a1 , . . . , an , die ganze Zahlen sind, welche Lösungen hat die Gleichung y 2 = f (x) in rationalen Zahlen? Geometrisch wird durch diese Gleichung eine algebraische Kurve C definiert, der ein höherdimensionales geometrisches Objekt zugeordnet ist, ihre sogenannte Jacobische Varietät J. Zur Bestimmung der rationalen Punkte auf der Kurve C ist es wichtig, die Gruppe J(Q) der rationalen Punkte auf J zu kennen (Punkte auf J lassen sich zueinander "addieren"; die Menge der rationalen Punkte hat die Struktur einer Gruppe). Alle rationalen Punkte auf J lassen sich durch wiederholte Addition aus endlich vielen Punkten gewinnen. In der Praxis ist es wichtig, ein solches endliches Erzeugendensystem bestimmen zu können. Dafür ist es erforderlich, für Punkte P ∈ J(Q) die kanonische Höhe hˆ (P) berechnen zu können. Sie ist ein Maß für die Größe von P und verträgt sich gut mit der Gruppenstruktur. Ziel des Projektes war es, vorhandene Methoden zur Berechnung von hˆ zu verbessern und neue zu entwickeln. Dieses Ziel konnte zum größten Teil erreicht werden: Im Fall, dass die Kurve Geschlecht 2 hat (das entspricht n = 5 oder 6 in der Gleichung oben), konnte die Berechnung der kanonischen Höhe vereinfacht und effizienter gemacht werden; eine Implementierung steht kurz vor dem Abschluss. Im Zuge dessen konnte auch eine verbesserte Abschätzung für die "Höhenkonstante“ bewiesen werden, was in der Praxis einen deutlichen Effizienzgewinn bei der Berechnung eines Erzeugendensystems von J(Q) bedeuten kann. Im Fall von Geschlecht > 2 (also n > 6) konnte zum ersten Mal ein Algorithmus zur Berechnung von h entwickelt werden, der im Prinzip für beliebige Kurven funktioniert. Er ist implementiert für hyperelliptische Kurven (das sind Kurven, die durch eine Gleichung wie oben gegeben sind) und praktisch anwendbar für Geschlecht ≤ 10 (das heißt n ≤ 22). Diese Ergebnisse haben Anwendungen sowohl auf Fragen, die das Projekt ursprünglich motiviert haben, als auch in anderen Zusammenhängen, wie zum Beispiel der Berechnung von sogenannten p-adischen Höhen, die sich im Lauf der a Arbeit an dem Projekt zusätzlich ergeben haben.
Projektbezogene Publikationen (Auswahl)
- Computing canonical heights on Jacobians. Dissertation, Universität Bayreuth (2010)
Jan Steffen Müller
- Explicit Kummer surface formulas for arbitrary characteristic. LMS J. Comput. Math. 13, 47–64 (2010)
Jan Steffen Müller
- Computing canonical heights using arithmetic intersection theory. Preprint (2011)
Jan Steffen Müller
- Local heights on elliptic curves and intersection multiplicities. Preprint (2010, 2011)
Vincenz Busch und Jan Steffen Müller
