Adaptive Multigrid Methods for Phase Field Models

• Applicant: Professor Dr. Ralf Kornhuber
• Subject Area: Mathematics
• Term: from 2003 to 2010
• Project identifier: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Project number 5415315

• Final Report Year: 2010

Final Report Abstract

Die numerische Lösung von Phasenfeldmodellen stellt große Herausforderungen an die verwendeten Verfahren. Zum einen schließen die auftretenden Nichtlinearitäten klassische Linearisierungstechniken aus. Zum anderen weisen die Lösungen ein lokal stark variierendes Verhalten auf, was adaptive Diskretisierungen für eine effiziente numerische Behandlung notwendig macht. Im Rahmen des Projektes wurden, ausgehend vom Hindernispotential, zunächst schnelle algebraische Löser für die auftretenden diskreten Probleme entwickelt. Dabei wurde stets die konvexe Struktur anstatt Glattheitsannahmen zugrunde gelegt. Durch diese Vorgehen sind die entwickelten Löser inhärent robust für den Grenzfall θ → 0. Für alle Verfahren wurde die globale Konvergenz bewiesen und die gitterunabhängige Konvergenz numerisch beobachtet. Im Gegensatz zu früheren Ansätzen, die auf Glattheit oder Regularisierung basieren, bedeutet die Robustheit hinsichtlich θ einen deutlichen Vorteil. Zur Fehlerkontrolle und zur Konstruktion lokal verfeinerter Gitter wurden hierarchische Fehlerschätzer entwickelt, die ebenfalls den Grenzfall θ → 0 nach Konstruktion mit abdecken. Numerische Beispiele belegen die Effizient der Fehlerschätzer und die Güte der konstruierten Gitter. Sowohl die entwickelten Verfahren, als auch die im Rahmen der DUNE Umgebung implementierte modulare Software wird mittlerweile auch im Rahmen anderer Projekte erfolgreich eingesetzt.

Publications

• (2005). On preconditioned Uzawa-type iterations for the Cahn-Hilliard equation with obstacle potential. EMG 2005, 10. November, Scheveningen, Niederlande
  C. Gräser
  
• (2006). Nonsmooth Newton methods for set-valued saddle point problems. DD17, 6. Juli, Strobl, Österreich
  C. Gräser
  
• On preconditioned Uzawa-type iterations for a saddle point problem with inequality constraints. In: O. B. Widlund and D. E. Keyes, editors, Domain Decomposition Methods in Science and Engineering XVI, pages 91 – 102, Heidelberg, 2006. Springer
  C. Gräser and R. Kornhuber
  
• (2008). Global convergence of nonsmooth Newton methods for constrained minimization. DD18, 14. Januar, Jerusalem, Israel
  C. Gräser
  
• (2008). Multigrid methods for phase field models. Matheon-ICM Workshop, 17. März, Berlin, Deutschland
  C. Gräser
  
• Truncated nonsmooth Newton multigrid methods for convex minimization problems. In: M. Bercovier, M. Gander, R. Kornhuber, and O. Widlund, editors, Domain Decomposition Methods in Science and Engineering XVIII, LNCSE, pages 129–136. Springer, 2009
  C. Gräser, U. Sack, and O. Sander