Theory of Nonlinear Subdivision and Multiscale Transforms
Final Report Abstract
Im Rahmen des Projektes wurde die Theorie von Multiskalentransformationen befördert, ein noch junges Gebiet der Algorithmenentwicklung für Anwendungen zur Darstellung von Geometrie und Bearbeitung von Restriktionen unterliegenden grossen Datenmengen. Die wesentlichen Ergebnisse können wie folgt beschrieben werden: • Für Multiskalentransformationen mit nichtlinearen Prolongationen auf feinere Skalen wurde eine Stabilitätstheorie entwickelt, die mit minimalen Glattheitsvoraussetzungen an den zugrundeliegenden Unterteilungsoperator S auskommt. D.h., es wurden sehr allgemeine Bedingungen an den nichtlinearen Operator S angegeben, so dass quantitativ kleine Änderungen in den Grobskalen- und Detailinformationen nach der Anwendung der Transformation nur zu geringen Veränderungen in der Feinskalendarstellung führen. Nahezu scharfe Stabilitätskriterien wurden mittels gemeinsamer Spektralradien von Familien nichtlinearer Abbildungen angegeben und führten zu neuen Stabilitätsaussagen für eine Anzahl von in der Literatur vorgeschlagenen Transformationen. • Die Theorie von Normalen-Multiskalentransformationen für Kurven wurde durch die Betrachtung allgemeiner eindimensionaler Unterteilungsoperatoren S und das Zulassen generischer Normalennäherungen vervollständigt. Einige Beobachtungen von praktischer Bedeutung wurden gemacht, so der Vorschlag für eine global konvergente adaptive, auf dem Chaikin-Corner-Cutting Unterteilungsalgorithmus aufbauende Normalen-Multiskalentransformation, eine verbesserte Regularität der erzeugten Darstellungen bei geeigneter Wahl der Normalennäherung, und reduzierte Abfallraten der Details bei einigen populären approximierenden S. • Wir haben erste, entscheidende Ergebnisse zur Theorie der Normalen-Multiskalentransformationen für Cs-glatte Flächen vorgelegt, und neue kombinierte Schemata mit asymptotisch besseren Eigenschaften für die Regularität der erzeugten Gitter und die Detailabklingraten vorgeschlagen und implementiert. Die bestimmende Rolle der Ordnung der exakten Reproduktion von Polynomen des angewendeten Unterteilungsoperators S bei der Beurteilung des asymptotischen Verhaltens von Normalen-Multiskalentransformationen für sowohl Kurven als auch Flächen wurde herausgearbeitet.
Publications
- Univariate subdivision and multiscale transforms: The nonlinear case, in Multiscale, Nonlinear, and Adaptive Approximation (R.A. DeVore, A. Kunoth eds.), pp. 203-247, Springer, Berlin, 2009
N. Dyn, P. Oswald
- Normal multiscale transforms for surfaces, in Curves and Surfaces 2010 (J.-D. Boissonat et al. (eds.)), LNCS 6920, pp. 527–542, Springer, 2011
P. Oswald
- Stability of nonlinear subdivision and multiscale transforms, Constr. Approx. 31, 2010, 359–393
S. Harizanov, P. Oswald
- Analysis of nonlinear subdivision and multi-scale transforms, PhD Thesis, SES, Jacobs University, 2011
S. Harizanov
- Normal multi-scale transforms for curves, Found. Comput. Math. 11 (6), 2011, 617–656
S. Harizanov, P. Oswald, T. Shingel
