Adaptive Diskretisierungsverfahren zur Regularisierung inverser Probleme

• Antragsteller: Professor Dr. Boris Vexler
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2009 bis 2014
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 119705116

• Erstellungsjahr: 2014

Zusammenfassung der Projektergebnisse

Im Rahmen dieses Projekts haben wir Verfahren zur Lösung von nichtlinearen inversen Problemen untersucht. Dabei lag unser Schwerpunkt einerseits auf der Effizienz der entwickelten Verfahren, welche durch die Verwendung adaptiver Diskretisierungen ermöglicht wurde, andererseits auf einer rigorosen Konvergenzanalyse. Zunächst gelang es uns die Methode aus einer früheren Arbeit (Efficient computation of the Tikhonov regularization parameter by goal oriented adaptive discretization. Inverse Problems, 2008) auf nichtlineare Probleme zu erweitern. Das heißt, wir entwickelten ein Verfahren, welches den Tikhonovregularisierungsparameter nach dem Diskrepanzprinzip mithilfe eines inexaktes Newton-Verfahren bestimmt. Dabei wird gleichzeitig die Diskretisierung adaptiv verfeinert mittels dual-weighted-residual (DWR) Fehlerschätzer. Neben einer Konvergenzanalyse mit optimalen Raten unter sogenannten Quellbedingungen führten wir auch numerische Tests durch, welche sowohl im elliptischen also auch im parabolischen Fall eine wesentliche Rechenzeitreduktion in Bezug auf uniforme Verfeinerung lieferten. In Zusammenarbeit mit Jonas Offtermatt wurde eine Reihe von wichtigen Resultaten über Regularisierung durch Diskretisierung im Urbildraum - jedoch noch ohne Adaptivität - erzielt. Dabei spielt das Diskretisierungs-Level die Rolle eines Regularisierungsparameters, welcher wieder mit dem Diskrepanzprinzip bestimmt wird. Des Weiteren beschäftigten wir uns in Kooperation mit Jonas Offtermatt mit Verfeinerungs- und Vergröberungsindikatoren für allgemeine inverse Probleme (formuliert als nichtlineare Operatorgleichungen). Das ermöglichte es, sich die Beziehung zwischen adaptiver Diskretisierung und ”Sparse-Parametrisierung” zu Nutze zu machen, um einen Algorithmus zur Bestimmung von ”Sparse-Lösungen” inverser Probleme zu entwickeln. Wir erzielten erste Ergebnisse hinsichtlich der Analyse der vorgestellten Methode und wendeten sie auf ein inverses Problem in der Systembiologie an. Darüber hinaus betrachteten wir Newton-artige Regularisierungsverfahren, genauer das iterativ regularisierte Gauß-Newton-Verfahren. Anhand einer reduzierten Formulierung mithilfe des Steuerung-Zustand-Operators leiteten wir allgemeine Konvergenzresultate unter gewissen Genauigkeitsanforderungen an bestimmte Zielgrößen her. Diese Aussagen konnten wir weiter verallgemeinern auf Banachraume und allgemeinere Datenfehler- und Regularisierungsterme. Basierend auf diesen Ergebnissen untersuchten wir all-at-once Formulierungen, bei denen die partielle Differentialgleichung und die Beobachtungsgleichung gleichzeitig behandelt werden. Neben einer kleinsten-Quadrate-Formulierung konzentrierten wir uns vor allem auf eine verallgemeinerte Gauß-Newton-Version. In jedem NewtonSchritt kontrollieren wir die Größe des Regularisierungsparameters nach dem Diskrepanzprinzip sowie die Diskretisierungsfeinheit mittels DWR Fehlerschätzer. Das Abbruchkriterium für das verallgemeinerte Gauß-Newton-Verfahren übernimmt die Rolle eines weiteren Regularisierungsparameters, welcher ebenfalls nach dem Diskrepanzprinzip bestimmt wird. Die Effizienz des entwickelten Verfahrens konnten wir anhand verschiedener numerischer Tests belegen.

Projektbezogene Publikationen (Auswahl)

• A refinement and coarsening indicator algorithm for finding sparse solutions of inverse problems. Inverse Problems and Imaging (IPI), 5:391–406, 2011
  B. Kaltenbacher and J. Offtermatt
  
• Adaptive discretizations for the choice of a Tikhonov regularization parameter in nonlinear inverse problems. Inverse Problems, 27 125008, 2011
  B. Kaltenbacher, A. Kirchner, and B. Vexler
  
• Trust region methods with hierarchical finite element models for PDE constrained optimization. Control & Cybernetics, 40(4), 2011
  A. Kirchner, D. Meidner, and B. Vexler
  
• A convergence analysis of regularization by discretization in preimage space. Mathematics of Computation, 81:2049–2069, 2012
  B. Kaltenbacher and J. Offtermatt
  
• Adaptive regularization and discretization for nonlinear inverse problems with PDEs. PhD Thesis, Lehrstuhl für Optimalsteuerung, Technische Universität München, 2014
  Alana Kirchner
  
• Goal oriented adaptivity in the IRGNM for parameter identification in PDEs I: reduced formulation. Inverse Problems, 2014
  B. Kaltenbacher, A. Kirchner, and S. Veljovi´c
  
• Goal oriented adaptivity in the IRGNM for parameter identification in PDEs II: all-at once formulations. Inverse Problems, 2014
  B. Kaltenbacher, A. Kirchner, and B. Vexler