Untersuchung zahlentheoretischer Funktionen auf arithmetischen Strukturen, Untersuchung multiplikativer Eigenschaften von Summenmengen und Siebmethoden
Zusammenfassung der Projektergebnisse
Neben der Geometrie stellt die Zahlentheorie eines der ältesten mathematischen Gebiete dar. Einen wichtigen Bereich in der Zahlentheorie nehmen multiplikative zahlentheoretische Funktionen ein. Darunter versteht man Abbildungen aus den natürlichen Zahlen in die komplexen Zahlen mit der Eigenschaft, dass für teilerfremde Zahlen m, n die folgende Gleichung gilt f(mn) = f(m)f(n). D.h. dass man den Wert an der Stelle m * n berechnen kann, wenn man den Wert der Funktion an der Stelle m und den Wert der Funktion an der Stelle n kennt. In diesem Projekt wurden multiplikative zahlentheoretische Funktionen untersucht, die nur die Werte +1 und -1 annehmen. Jede solche Funktion f liefert eine ±1-Folge. Auf dieser Folge kann man nach Mustern suchen, bespielsweise nach Mustern der Länge vier. Es gibt verschiedene Möglichkeiten auf einer Folge, z.B. +1 , -1 , -1 , +1 , -1 , +1 , -1 , -1 , . . . , nach Mustern der Länge vier zu suchen. Man kann zum einen aufeinanderfolgende Folgenglieder, d.h. Folgenglieder mit Abstand eins, betrachten oder Folgenglieder mit Abstand zwei ect. Es gibt 16 Muster der Länge vier. (An jeder Position in einem Muster der Länge kann entweder eine + 1 oder - 1 stehen, somit gibt es 2^4 = 16 Muster der Länge vier.) Wir konnten zeigen, dass alle 16 Muster unendlich oft in den untersuchten Folgen vorkommen. Darüberhinaus konnten wir eine Aussage über die Größe des Abstands beweisen, mit dem die Muster vorkommen. In einem weiteren Teil des Projekt haben wir die Teilerfunktion d untersucht. Die Teilerfunktion d ordnet jeder natürlichen Zahl die Anzahl ihrer positiven Teiler zu. Wir konnten folgende alte Vermutung von Ramanujan, Erdös and Kátai über die maximale Größenordnung der iterierten Teilerfunktion d{d{n)) beweisen: Für hinreichend große natürliche Zahlen n gilt d(d(n)) ≤ exp (c √log n/log log n) , wobei c eine positive Konstante ist. Die Größenordnung der Teilerfunktion d ist vor über einem Jahrhundert von Wigert bestimmt worden, wohingegen die Frage für die iterierte Teilerunktion trotz einiger Bemühungen (s. z.B. Smati) bis zu diesem Zeitpunkt noch offen war.
Projektbezogene Publikationen (Auswahl)
- Exponential sums over primes and the twin prime problem. Acta Math. Hungar., 131 (1-2) (2011), 46-58
Y Buttkewitz
