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SFB 878:  Gruppen, Geometrie und Aktionen

Fachliche Zuordnung Mathematik
Förderung Förderung von 2010 bis 2019
Projektkennung Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 129719356
 
Erstellungsjahr 2019

Zusammenfassung der Projektergebnisse

Der SFB 878 “Gruppen, Geometrie und Aktionen” untersuchte ein weitgespanntes mathematisches Themengebiet mit einem gemeinsamen Blickwinkel. Im Folgenden beschreiben wir herausragende Resultate im Zeitraum 2018/2–2019/1 seiner drei Projektbereiche A. Algebra und Logik, B. Geometrie und Topologie, C. Nicht-kommutative Geometrie und Wahrscheinlichkeitstheorie. A. In der modularen Darstellungstheorie p-adischer Gruppen wurde eine differentielle graduierte Hecke-Algebra konstruiert, deren derivierte Kategorie äquivalent ist zur derivierten Kategorie der glatten Gruppendarstellungen. Modulräume von globalen G-Shtukas wurden für beliebige flache, affine Gruppenschemata G von endlichem Typ konstruiert. Das Analogon der Langlands-Rapoport-Vermutung für globale G-Shtukas wurde gezeigt. Die Rapoport-Zink-Vermutung über das Bild der Periodenmorphisu men für p-dividierbare Gruppen wurde bewiesen und die universelle Familie der semi-stabilen p-adischen Galois Darstellungen konstruiert. Ein p-adisches Analogon der Uhlenbeck-Yau-Theorie semistabiler Vektorbündel wurde etabliert. Es wurden erstmalig natürliche dynamische Systeme für arithmetische Schemata konstruiert, deren periodische Orbits den abgeschlossenen Punkten entsprechen. Dies war selbst im einfachsten Fall ein ungelöstes Problem. In der Darstellungstheorie von Algebren wurden Kippmoduln mit Hilfe von Kombinatorik und Polytopen klassifiziert. Die Hodge Theorie für verschwindende Zykel wurde für einen teilweisen Beweis der “Quantencluster Positivitäts Vermutung” benutzt. Natürliche Beispiele von amplen stabilen Theorien wurden konstruiert. Die ersten Beispiele scharf 2- und 3-fach transitiver Gruppen ohne nicht-triviale abelsche Normalteiler wurden gefunden. Die Existenz solcher Gruppen war ein jahrzehntelanges offenes Problem. B. In der Differentialgeometrie wurden Phänomene geklärt, die beim Übergang vom glatten zum singulären kollabierten Raum entstehen. Mit Hilfe des Ricci-Flusses gelangt die Klassifikation von nicht-kollabierten Riemannschen Mannigfaltigkeiten mit fast nicht-negativem Krümmungsoperator. Ferner konnte gezeigt werden, dass homogene Ricci-Fluss-Lösungen, die für alle positiven Zeiten definiert sind, gegen einen nicht gradientenartigen Ricci-Soliton konvergieren. Die Farrell-Jones-Vermutung wurde für viele Klassen von Gruppen bewiesen, z.B. für CAT (0)-Gruppen, kokompakten Gittern in Liegruppen, GLn (Z), relative hyperbolischen Gruppen, Abbildungsklassengruppen von Flächen. Mit Indextheorie und Kobordismustheorie wurde gezeigt, dass die globale Struktur des Raumes R+ (M) aller Riemannschen Metriken positiver Skalarkrümmung auf hochdimensionalen Mannigfaltigkeiten eine sehr reichhaltige Topologie hat. Insbesondere besitzt R+ (Sd) die Struktur eines unendlichen Schleifenraumes. Eine klassische Frage uber Pontrjagin-Klassen von topologischen Bündeln konnte beantwortet werden: die höheren Pontrjagin-Klassen nichtlinearer Rn-Bündel verschwinden im Gegensatz zum linearen Fall nicht. C. Neue Klassen von Superexpanderfamilien, deren Konstruktion bekanntlich sehr schwierig ist, wurden gefunden. Die Rosenberg Vermutung wurde gelöst: eine diskrete Gruppe ist mittelbar genau dann, wenn ihre reduzierte Gruppen-C*-Algebra quasidiagonal ist. Dieses Ergebnis war der der Schlussstein für die Klassifikation einfacher, separabler, unitaler, UCT C* -Algebren mit endlicher nuklearer Dimension. Die K-Gruppen der C* -Halbgruppenalgebren der ax + b-Halbgruppen von Ganzheitsringen R in algebraischen Zahlkörpern wurde berechnet. Die 2-Punktfunktion des φ4 -QFT-Modells auf einer nichtkommutativen Geometrie konnte explizit gelöst werden. Dies war bisher nur in ganz seltenen Fällen gelungen. Limiten zufälliger rekursiver Strukturen konnten mittels stochastischer Fixpunktgleichungen berechnet werden. Damit gelang eine vollständige Beschreibung aller Lösungen dieser Gleichungen sowie die Analyse von sogenannten Leader-Election-Prozeduren und ihre Verbindung zu Koaleszenzprozessen. In der Theorie der Zufallsmatrizen mit korrelierten Einträgen wurde ein Phasenübergang entdeckt. Bei schwacher Abhängigkeit bleibt es beim Halbkreisgesetz für die LSD, während sich bei starker Abhängigkeit der Einträge auf den Diagonalen freie Faltungen des Halbkreisgesetzes mit anderen aus der Theorie der Zufallsmatrizen bekannten Verteilungen ergeben.

Projektbezogene Publikationen (Auswahl)

 
 

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