SFB 878:  Gruppen, Geometrie und Aktionen

• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2010 bis 2019
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 129719356

• Erstellungsjahr: 2019

Zusammenfassung der Projektergebnisse

Der SFB 878 “Gruppen, Geometrie und Aktionen” untersuchte ein weitgespanntes mathematisches Themengebiet mit einem gemeinsamen Blickwinkel. Im Folgenden beschreiben wir herausragende Resultate im Zeitraum 2018/2–2019/1 seiner drei Projektbereiche A. Algebra und Logik, B. Geometrie und Topologie, C. Nicht-kommutative Geometrie und Wahrscheinlichkeitstheorie. A. In der modularen Darstellungstheorie p-adischer Gruppen wurde eine differentielle graduierte Hecke-Algebra konstruiert, deren derivierte Kategorie äquivalent ist zur derivierten Kategorie der glatten Gruppendarstellungen. Modulräume von globalen G-Shtukas wurden für beliebige flache, affine Gruppenschemata G von endlichem Typ konstruiert. Das Analogon der Langlands-Rapoport-Vermutung für globale G-Shtukas wurde gezeigt. Die Rapoport-Zink-Vermutung über das Bild der Periodenmorphisu men für p-dividierbare Gruppen wurde bewiesen und die universelle Familie der semi-stabilen p-adischen Galois Darstellungen konstruiert. Ein p-adisches Analogon der Uhlenbeck-Yau-Theorie semistabiler Vektorbündel wurde etabliert. Es wurden erstmalig natürliche dynamische Systeme für arithmetische Schemata konstruiert, deren periodische Orbits den abgeschlossenen Punkten entsprechen. Dies war selbst im einfachsten Fall ein ungelöstes Problem. In der Darstellungstheorie von Algebren wurden Kippmoduln mit Hilfe von Kombinatorik und Polytopen klassifiziert. Die Hodge Theorie für verschwindende Zykel wurde für einen teilweisen Beweis der “Quantencluster Positivitäts Vermutung” benutzt. Natürliche Beispiele von amplen stabilen Theorien wurden konstruiert. Die ersten Beispiele scharf 2- und 3-fach transitiver Gruppen ohne nicht-triviale abelsche Normalteiler wurden gefunden. Die Existenz solcher Gruppen war ein jahrzehntelanges offenes Problem. B. In der Differentialgeometrie wurden Phänomene geklärt, die beim Übergang vom glatten zum singulären kollabierten Raum entstehen. Mit Hilfe des Ricci-Flusses gelangt die Klassifikation von nicht-kollabierten Riemannschen Mannigfaltigkeiten mit fast nicht-negativem Krümmungsoperator. Ferner konnte gezeigt werden, dass homogene Ricci-Fluss-Lösungen, die für alle positiven Zeiten definiert sind, gegen einen nicht gradientenartigen Ricci-Soliton konvergieren. Die Farrell-Jones-Vermutung wurde für viele Klassen von Gruppen bewiesen, z.B. für CAT (0)-Gruppen, kokompakten Gittern in Liegruppen, GLn (Z), relative hyperbolischen Gruppen, Abbildungsklassengruppen von Flächen. Mit Indextheorie und Kobordismustheorie wurde gezeigt, dass die globale Struktur des Raumes R+ (M) aller Riemannschen Metriken positiver Skalarkrümmung auf hochdimensionalen Mannigfaltigkeiten eine sehr reichhaltige Topologie hat. Insbesondere besitzt R+ (Sd) die Struktur eines unendlichen Schleifenraumes. Eine klassische Frage uber Pontrjagin-Klassen von topologischen Bündeln konnte beantwortet werden: die höheren Pontrjagin-Klassen nichtlinearer Rn-Bündel verschwinden im Gegensatz zum linearen Fall nicht. C. Neue Klassen von Superexpanderfamilien, deren Konstruktion bekanntlich sehr schwierig ist, wurden gefunden. Die Rosenberg Vermutung wurde gelöst: eine diskrete Gruppe ist mittelbar genau dann, wenn ihre reduzierte Gruppen-C*-Algebra quasidiagonal ist. Dieses Ergebnis war der der Schlussstein für die Klassifikation einfacher, separabler, unitaler, UCT C* -Algebren mit endlicher nuklearer Dimension. Die K-Gruppen der C* -Halbgruppenalgebren der ax + b-Halbgruppen von Ganzheitsringen R in algebraischen Zahlkörpern wurde berechnet. Die 2-Punktfunktion des φ4 -QFT-Modells auf einer nichtkommutativen Geometrie konnte explizit gelöst werden. Dies war bisher nur in ganz seltenen Fällen gelungen. Limiten zufälliger rekursiver Strukturen konnten mittels stochastischer Fixpunktgleichungen berechnet werden. Damit gelang eine vollständige Beschreibung aller Lösungen dieser Gleichungen sowie die Analyse von sogenannten Leader-Election-Prozeduren und ihre Verbindung zu Koaleszenzprozessen. In der Theorie der Zufallsmatrizen mit korrelierten Einträgen wurde ein Phasenübergang entdeckt. Bei schwacher Abhängigkeit bleibt es beim Halbkreisgesetz für die LSD, während sich bei starker Abhängigkeit der Einträge auf den Diagonalen freie Faltungen des Halbkreisgesetzes mit anderen aus der Theorie der Zufallsmatrizen bekannten Verteilungen ergeben.

Projektbezogene Publikationen (Auswahl)

• Period spaces for Hodge structures in equal characteristic. Annals of Math., 173:1241–1358, 2011
  U. Hartl
  
• The topology of a semisimple Lie group is essentially unique. Adv. Math., 228(5):2623–2633, 2011
  Linus Kramer
  
• The Borel conjecture for hyperbolic and CATp0q-groups. Ann. of Math. (2), 175(2):631–689, 2012
  Arthur Bartels and Wolfgang Lück
  
• A Lie algebraic approach to Ricci flow invariant curvature conditions and Harnack inequalities. J. Reine Angew. Math., 679:223–247, 2013
  Burkhard Wilking
  
• A phase transition for the limiting spectral density of random matrices. Electron. J. Probab., 18:no. 17, 17, 2013
  Olga Friesen and Matthias Löwe
  
• C*-algebras of Toeplitz type associated with algebraic number fields. Math. Ann., 355(4):1383–1423, 2013
  J. Cuntz, C. Deninger, and M. Laca
  
• On a conjecture of Rapoport and Zink. Invent. Math., 193:627–696, 2013
  U. Hartl
  
• SK1 and Lie algebras. Math. Annalen, 357:1455–1483, 2013
  P. Schneider and O. Venjakob
  
• Coarse equivalences of Euclidean buildings. Adv. Math., 253:1–49, 2014. With an appendix by Jeroen Schillewaert and Koen Struyve
  Linus Kramer and Richard M. Weiss
  
• K- and L-theory of group rings over GLn (Z). Publ. Math. Inst. Hautes Etudes Sci., 119:97–125, 2014
  Arthur Bartels, Wolfgang Lück, Holger Reich, and Henrik Rüping
  
• Pro-p-Iwahori-Hecke algebras are Gorenstein. J. Inst. Math. Jussieu, 13:753–809, 2014
  R. Ollivier and P. Schneider
  
• Self-dual noncommutative ϕ4-theory in four dimensions is a non-perturbatively solvable and non-trivial quantum field theory. Comm. Math. Phys., 329(3):1069–1130, 2014
  Harald Grosse and Raimar Wulkenhaar
  
• The Farrell-Jones conjecture for cocompact lattices in virtually connected Lie groups. J. Amer. Math. Soc., 27(2):339–388, 2014
  A. Bartels, F. T. Farrell, and W. Lück
  
• Nuclear dimension and Z-stability. Invent. Math., 202:893–921, 2015
  Y. Sato, S. White, and W. Winter
  
• Purity for graded potentials and quantum cluster positivity. Compositio Mathematica, 151:1913–1744, 2015
  B. Davison, D. Maulik, J. Schürmann, and B. Szendroi
  
• Transitive actions of locally compact groups on locally contractible spaces. J. Reine Angew. Math., 702:227–243, 2015
  Karl H. Hofmann and Linus Kramer
  
• Sharply 3-transitive groups. Adv. Math., 286:722–728, 2016
  Katrin Tent
  
• Simplicity of the automorphism groups of some Hrushovski constructions. Ann. Pure Appl. Logic, 167(1):22–48, 2016
  David M. Evans, Zaniar Ghadernezhad, and Katrin Tent
  
• Surgery stable curvature conditions. Math. Ann., 365(1-2):13–47, 2016
  Sebastian Hoelzel
  
• A leader-election procedure using records. Ann. Probab., 45(6B):4348–4388, 2017
  Gerold Alsmeyer, Zakhar Kabluchko, and Alexander Marynych
  
• Characteristic classes of symmetric products of complex quasi-projective varieties. J. Reine Angew. Math., 728:35– 63, 2017
  S. Cappell, L. Maxim, J. Schürmann, J. Shaneson, and S. Yokura
  
• Coarse flow spaces for relatively hyperbolic groups. Compos. Math., 153(4):745– 779, 2017
  A. Bartels
  
• Convex hulls of random walks, hyperplane arrangements, and Weyl chambers. Geom. Funct. Anal., 27(4):880–918, 2017
  Zakhar Kabluchko, Vladislav Vysotsky, and Dmitry Zaporozhets
  
• Convex hulls of random walks: expected number of faces and face probabilities. Adv. Math., 320:595–629, 2017
  Zakhar Kabluchko, Vladislav Vysotsky, and Dmitry Zaporozhets
  
• Exact solution of matricial Φ3 2 quantum field theory. Nuclear Phys. B, 925:319–347, 2017
  Harald Grosse, Akifumi Sako, and Raimar Wulkenhaar
  
• Infinite loop spaces and positive scalar curvature. Invent. Math., 209(3):749–835, 2017
  Boris Botvinnik, Johannes Ebert, and Oscar Randal-Williams
  
• Nonextensive condensation in reinforced branching processes. Ann. Appl. Probab., 27(4):2539–2568, 2017
  S. Dereich, C. Mailler, and P. Mörters
  
• On the Berger conjecture for manifolds all of whose geodesics are closed. Invent. Math., 210(3):911–962, 2017
  Marco Radeschi and Burkhard Wilking
  
• Parallel transport for vector bundles on p-adic varieties
  C. Deninger and A. Werner
  
• Quasidiagonality of nuclear C*-algebras. Ann. of Math. (2), 185:229–284, 2017
  A. Tikuisis, S. White, and W. Winter
  
• Exotic crossed products and the Baum-Connes conjecture. J. Reine Angew. Math., 740:111–159, 2018
  Alcides Buss, Siegfried Echterhoff, and Rufus Willett
  
• Immortal homogeneous Ricci flows. Invent. Math., 212(2):461–529, 2018
  Christoph Böhm and Ramiro A. Lafuente
  
• Nonarchimedean bornologies, cyclic homology and rigid cohomology. Doc. Math., 23:1197–1245, 2018
  Guillermo Cortiñas, Joachim Cuntz, Ralf Meyer, and Georg Tamme
  
• Revisiting homogeneous spaces with positive curvature. J. Reine Angew. Math., 738:313–328, 2018
  Burkhard Wilking and Wolfgang Ziller
  
• Building-like geometries of finite Morley rank. J. Eur. Math. Soc. (JEMS), 21(12):3739–3757, 2019
  Isabel Müller and Katrin Tent
  
• Index theory in spaces of manifolds. Mathematische Annalen, 374(1–2):931–962, June 2019
  J. Ebert
  
• Superexpanders from group actions on compact manifolds. Geom. Dedicata, 200(1):287–302, 2019
  Tim de Laat and Federico Vigolo
  
• The Farrell-Jones conjecture for mapping class groups. Invent. Math., 215(2):651–712, 2019
  Arthur Bartels and Mladen Bestvina
  
• The ricci flow under almost non-negative curvature conditions. Invent. Math., 217(1):95–126, 2019
  Richard Bamler, Esther Cabezas-Rivas, and Burkhard Wilking