Konsistente Finite Elemente für Optimalsteuerungsprobleme in der Numerischen Strömungsmechanik
Zusammenfassung der Projektergebnisse
Dieses Projekt wurde in enger Kooperation und Austausch mit dem Kollegen M. Braack (Kiel) durchgeführt. Die hierbei erreichten Resultate wurden in der gemeinsamen Übersichtsarbeit zusammengefasst. In Tübingen haben wir uns zunächst mit der Konstruktion und Konvergenzanalyse eines Optimalsteuerungsproblems befasst, das mithilfe des Perimeterfunktionals Kontaktflächen zwischen zwei Fluiden minimiert. Neben dem nichtlinearen Charakter des Problems erwiesen sich limitierte Regularitätseigenschaften der Lösung (,Dichte') sowie eine geeignete Formulierung des geometrischen Perimeterfunktionals als Hauptschwierigkeiten für die Aufstellung notwendiger Optimalitätsbedingungen erster Ordnung; diese konnten mithilfe einer Phasenfeldformulierung und einer Regularisierungsstrategie bewältigt werden, und weiterhin eine konvergente raumzeitliche Diskretisierung derselben gefunden werden. In einer zweiten Projektphase haben wir uns mit der Kontrolle der „dünne-Filme-Gleichung" in ID im Rahmen einer Optimalsteuerung befasst. Die hier wirkende (masseerhaltende) Kontrolle verhindert das klassische Entroprieargument nach Bernis & Friedman (1990), das Positivität der Lösung (d.h. die Filmhöhe) im Fall „homogener rechter Seiten" sicherstellt. Zur „Kompensation" wird zusätzlich eine Ungleichheitsbedingung an den Zustand im Rahmen der Optimierungsaufgabe formuliert, und Lösbarkeit der PDE per Regularisierung sichergestellt. Auf diese Weise gelingt die Herleitung der notwendigen Optimalitätsbedingungen auch hier. Aufgrund dieses DFG-Projekts habe ich die „Numerik von Optimierungsaufgaben" in der Lehre verstärkt.
Projektbezogene Publikationen (Auswahl)
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Control of interface evolution in multiphase fluid flows, SIAM J. Control Optim 52, pp. 2284 - 2318 (2014)
L. Banas, M. Klein, A. Prohl
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Optimal control for two-phase flows. In: In: Leugering G. et al. (eds) Trends in PDE Constrained Optimization. International Series of Numerical Mathematics, vol 165. Birkhäuser, Cham, 2014. S. 347-363
M. Braack, M. Klein, B. Tews, A. Prohl
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Optimal control in evolutionary micromagnetism. JMA Journal of Numerical Analysis, Volume: 35 , Issue: 3 , July 2015, 1342-1380
T. Dunst, M. Klein, A. Prohl, A. Schäfer
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Optimal control for the thin film equation: Convergence of a multi-parameter approach to track state constraints avoiding degeneracies. Computational Methods in Applied Mathematics, Okt 2016, Band 16, Heft 4, S. 685–702
M. Klein, A. Prohl
