Invariantentheorie endlicher und algebraischer Gruppen
Final Report Abstract
Das Projekt brachte in beiden im Antrag genannten Themenbereichen Fortschritte, und zusätzlich in den Bereichen Algorithmische Invariantentheorie und Separierende Invarianten. Insbesondere war Herr Kohls, dessen Stelle ans Projektmitteln finanziert wurde, sehr produktiv. Es liegt im Wesen der mathematischen Forschung, dass diese selten planbar und die Ergebnisse selten vorhersagbar sind. So ergaben sich auch in diesem Projekt überraschend große Schwierigkeiten bei zwei Teilprojekten (nicht Cohen-Macaulay Invariantenringe in Charakteristik 0 und Darstellungstheorie von äußeren Potenzen), aber auch unerwartete Erfolge bei der Algorithmik von Invariantenringen und -körpern sowie auf dem Gebiet der separierenden Invarianten. Insgesamt hat sich dadurch der Schwerpunkt des Projekts ein wenig in Richtung Algorithmik/Anwendungen verschoben. Insbesondere sind die Fortschritte bei den separierenden Invarianten anwendungsnah, denn sämtliche Anwendungen der Invariantentheorie auf Gebiete wie Computer Vision, Graphentheorie und equivariante Dynamik benötigen separierende Invarianten. Die Hauptergebnisse des Projekts lassen sich wie folgt zusammenfassen: • Auch für zusammenhängende Gruppen gibt es "beliebig schlechte" Invariantenringe. Genauer: Für reduktive aber nicht linear reduktive Gruppen gibt es Darstellungen mit beliebig großem Tiefendefekt. • Die Arbeit von Symonds über Gradschranken stellt einen Durchbruch dar. Sie erleichtert das algorithmische Berechnen von Invariantenringen wesentlich. Diese Arbeit wurde durch das Projekt angeregt und entstand teilweise während eines Gastaufenthalts an der TU München. • Die Algorithmik für das Berechnen von Invariantenringen konnte wesentlich vorangetrieben werden. Es wurden Algorithmen entwickelt für den Fall reduktiver Gruppen mit Operation auf affinen Varietäten. • Für die Berechnung von Invariantenkörpern konnte ein vollständig allgemeiner Algorithmus angegeben werden. • Der Weylsche Polarisierungssatz wurde in beliebiger Charakteristik auf separierende Invarianten übertragen. • Andererseits konnten Grenzen für die Güte von separierenden Invarianten aufgezeigt werden: Durch Übergang zu separierenden Invarianten kann man in vielen Fällen die Cohen-Macaulay Eigenschaft nicht hinzugewinnen. Viele der Resultate wurden durch Kooperation mit verschiedenen Mitautoren erzielt. Besonders zu erwähnen sind hierbei Harm Derksen, Peter Symonds und Emilie Dufresne. Dabei war es extrem hilfreich, dass Reisen und Gastaufenthalte aus Projektmitteln bezahlt werden konnten.
Publications
- Non Cohen-Macaulay Invariant Rings of Infinite Groups, J. Algebra 306 (2006), 591-609
Martin Kohls
- Homomorphisms, localizations and a new algorithm to construct invariant rings of finite groups, J. Algebra 309 (2007), 497-517
Peter Fleischmann, Gregor Kemper, Chris Woodcock
- The Computation of Invariant Fields and a Constructive Version of a Theorem by Rosenlicht, Transformation Groups 12 (2007), 657-670
Gregor Kemper
- Über die Tiefe von Invariantenringen unendlicher Gruppen, Dissertation, Technische Universität München, 2007
Martin Kohls
- Computing invariants of algebraic group actions in arbitrary characteristic, Adv. Math. 217 (2008), 2089-2129
Harm Derksen, Gregor Kemper
- Polarization of Separating Invariants, Canad. J. Math. 60 (2008), 556-571
Jan Draisma, Gregor Kemper, David Wehlau
- Algorithms for Fields and an Application to a Problem in Computer Vision, Dissertation, Technische Universität München, 2009
Anna Katharina Binder
- Algorithms for the Computation of Invariant Rings, Dissertation, Technische Universität München, 2009
Tobias Kamke
- The Cohen-Macaulay property of separating invariants of finiie groups (2009),Transformation Groups
Emilie Dufresne, Jonathan Elmer, Martin Kohls
