Krümmungsmaße und Integralgeometrie

• Antragsteller: Professor Dr. Daniel Hug; Professor Dr. Wolfgang Weil (†); Privatdozent Dr. Steffen Winter
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2010 bis 2016
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 160223306

Im Rahmen des bisherigen Projektes wurde die Untersuchung von Krümmungsmaßen in euklidischen Räumen in zwei Richtungen vorangetrieben. In einem ersten Teilprojekt wurden Krümmungsgrößen von recht allgemeinen Mengen durch Approximation mit Parallelmengen betrachtet und das asymptotische Verhalten solcher Approximationen wurde studiert. Dabei konnten einerseits allgemeine Zusammenhänge zwischen dem asymptotischen Verhalten von Volumen und Oberfläche der Parallelmengen herausgearbeitet werden, die nun zumindest global gut verstanden sind. Andererseits konnte die Existenz fraktaler Krümmungsmaße für selbstähnliche Mengen unter sehr allgemeinen Voraussetzungen gezeigt werden. In einem zweiten Teilprojekt wurden Erweiterungen der Krümmungsmaße für konvexe Körper zu Maßen auf Fahnenmannigfaltigkeiten behandelt. Die Eigenschaften solcher Fahnenmaße wurden untersucht und ihr Einsatz bei klassischen Integralformeln der Konvexgeometrie und bei der Beschreibung von Bewertungen wurde diskutiert. Viele der angeschnittenen Probleme sind noch nicht abschließend behandelt. Dies soll in der zweiten Phase des Projekts geschehen. Insbesondere sollen für allgemeine Mengen die erhaltenen Ergebnisse für Volumen und Oberfläche im Sinne von Maßen lokalisiert werden. Ferner ist geplant, diejenigen selbstähnlichen Mengen zu studieren, deren Krümmungsmaße nicht mit der Dimension skalieren, mit dem Ziel, die geometrische Bedeutung der Skalierungsexponenten zu erhellen. Im Bereich der Fahnenmaße sollen weitere Integraldarstellungen gemischter Volumina und spezieller Funktionale (z.B. Stützfunktionen) erarbeitet werden. Auch die Beschreibung homogener Bewertungen durch Fahnenmaße soll vorangetrieben werden. Schließlich stehen die Anwendungen in der Stochastischen Geometrie, z.B. auf Boolesche Modelle, noch aus. Sie erfordern insbesondere die Untersuchung von Injektivitätseigenschaften von Operatoren, die mit Hilfe von Fahnenmaßen gebildet werden.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen