Stochastische Fixpunktgleichungen und ihre Anwendungen

• Applicant: Professor Dr. Matthias Meiners
• Subject Area: Mathematics
• Term: from 2009 to 2012
• Project identifier: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Project number 160997061

• Final Report Year: 2012

Final Report Abstract

Im Zentrum des Projekts stand eine Fixpunktgleichung für Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf den reellen Zahlen, die sogenannte Fixpunktgleichung der Smoothing Transformation. In zahlreichen wahrscheinlichkeitstheoretischen Modellen, die zur Beschreibung physikalischer oder biologischer Systeme, der Analyse von Algorithmen oder Anderem verwendet werden, erfüllen wichtige zufällige Größen (bzw. deren Verteilung) solche Gleichungen. Als Beispiele seien die Normalverteilung und die asymptotische Verteilung der Laufzeit des Quicksort-Algorithmus genannt. Im Projekt wurden einige Aspekte dieser Gleichungen untersucht. Zunächst wurden bestehende (notwendige und hinreichende) Bedingungen für die Existenz von Lösungen verbessert. Als größter Fortschritt ist die Bestimmung aller Lösungen dieser Gleichungen (unter aus Anwendungssicht bedeutungslosen Annahmen) anzusehen. Dies war zuvor nur in Spezialfällen gelungen wie z. B. im Fall der Quicksortgleichung. Im Projekt wurden ferner mathematische Objekte, die in der Analyse der oben angegebenen Fixpunktgleichungen wichtig sind, untersucht. Hierzu zählt zum Beispiel der Branching Random Walk, ein stochastischer Prozess, der die zeitliche Entwicklung von Teilchenwolken beschreibt. Für diesen Prozess wurde in großer Allgemeinheit ein starkes Gesetz der großen Zahlen hergeleitet.

Publications

• An almost-sure renewal theorem for branching random walks on the line. In: Journal of Applied Probability 47 (2010), Nr. 3, S. 811-825
  Meiners, Matthias
  
• Exponential moments of first passage times and related quantities for random walks. In: Electronic Communications in Probability 15 (2010), S. 365-375
  Iksanov, Alexander ; Meiners, Matthias
  
• Fixed points of inhomogeneous smoothing transforms. 2010. In: Journal of Difference Equations and Applications
  Alsmeyer, Gerold ; Meiners, Matthias
  
• Fixed points of the smoothing transform: Two-sided solutions. 2010. In: Probability Theory and Related Fields
  Alsmeyer, Gerold ; Meiners, Matthias
  
• The functional equation of the smoothing transform. 2010. In: Annals of Probability Theory
  Alsmeyer, Gerold ; Biggins, J.D. ; Meiners, Matthias
  
• Power and exponential moments of the number of visits and related quantities for perturbed random walks. 2011
  Alsmeyer, Gerold ; Iksanov, Alexander ; Meiners, Matthias